Álgebra lineal: Subespacios

Después de un par de ejemplos, lo que seguramente quedó claro (me gustaría pensar que no es lo único) es que probar que algo es un espacio vectorial requiere un poco de trabajo. La buena noticia (?) que traigo ahora es que en muchas ocasiones se puede tomar un atajo.

Consideremos un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. Es decir, {V, ⊕, K, +, ×, ★}, y un subconjunto SV. ¿Bajo qué condiciones es S un espacio vectorial sobre K? La definición de espacio vectorial ya está dada, por lo que es obvio que S será un espacio vectorial si y solo si cumple con la definición, por lo tanto lo que nos preguntamos es cómo usar el hecho de que V es un espacio vectorial para determinar si S también lo es. Y es más o menos fácil ver que, sabiendo que V es un espacio vectorial, no queda mucho por hacer: {K, +, ×} es un cuerpo independientemente del conjunto en el que vivan los elementos que llamamos vectores. Por otra parte la definición de ⊕ en S es simplemente la restricción de la definición para V al subconjunto S ⊆ V, lo que asegura dos cosas: Que las propiedades necesarias en ★ se verifican si solo consideramos S como el conjunto de vectores, pues son heredadas de V, y que las condiciones para que {S, ⊕} sea un grupo abeliano se satisfacen, puesto que se satisfacen en V.

¿Es, entonces, {S, ⊕, K, +, ×, ★} un espacio vectorial para cualquier S ⊆ V? La respuesta es no. Si bien las propiedades se heredan y todo el trabajo parece estar ya hecho, hay algo que previene que cualquier subconjunto de un espacio vectorial sea también un espacio vectorial, y es que las restricciones de ⊕ y ★ al subconjunto S deben estar bien definidas. Es decir, para vectores en S debe valer ★: S×KS, y la restricción de ⊕ a S debe ser una ley de composición interna. Resumimos estas condiciones diciendo que S es “cerrado” para la suma y el producto por escalares.

Condición suficiente:

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y S ⊆ V un conjunto no vacío. Si se verifica:

i) ∊  Λ  ∊ S → x∊ S.

ii)  Λ  ∊ S → a S.

Entonces S es un espacio vectorial sobre K.

Vamos a ver cómo funciona esto con algún ejemplo. Habíamos mostrado que el espacio real de dimensión 3 (ℝ3) es un espacio vectorial sobre el cuerpo de reales. Tomemos ahora como subconjunto S al plano definido por la ecuación z=x+y, y veamos si es un espacio vectorial sobre ℝ.

i) Sean u=(x,y,z) ∊ S Λ v=(u,v,w) ∊ S (y por lo tanto en ℝ3). La suma en ℝ3 es la suma usual en el conjunto de matrices, por lo que uv=(x+u,y+v,z+w). Ahora bien, como u y v están en S vale z=x+y Λ w=u+v, por lo que uv=(x+u,y+v,(x+y)+(u+w))=(x+u,y+v,(x+u)+(y+w)), donde la última igualdad resulta de la asociatividad de la suma en ℝ. Vemos entonces que la suma de dos elementos de S es un elemento de S, puesto que verifica la ecuación del plano.

ii) Por la definición de ★ y de S,

au=a(x,y,z)=(a.x,a.y,a.z)=(a.x,a.y,a.(x+y))=(a.x,a.y,a.x+a.y),

Por lo que a∊ S, ya que verifica la ecuación del plano.

Por i) y ii), entonces, el plano definido por la ecuación z=x+y es un espacio vectorial. Fácil, ¿No?. También es fácil mostrar que cualquier subconjunto del espacio real que contenga al 0 (el origen) es también un espacio vectorial. Pero eso para más adelante.

Quiero mostrar, para terminar, un ejemplo dentro del espacio de funciones. Consideremos el conjunto S de funciones de variable real, derivables en cierto intervalo abierto (a,b). Este es, claramente, un subconjunto del conjunto de funciones continuas en [a,b], pues la derivabilidad implica continuidad, y sabemos que este conjunto, F={f:I⊆ℝ → ℝ / f es continua en [a,b]}, es un espacio vectorial sobre ℝ. Vemos entonces que S es un espacio vectorial sobre ℝ, por el solo hecho de que la derivada es lineal:

Sean f y g elementos de S, y c un punto cualquiera de (a,b). Denotemos con Dc a la derivada en el punto c.

i) Dc [(fg)(x)]= D[f(x)+g(x)]= Df(x)+Dg(x). Como f y g son derivables por hipótesis se tiene que fg también lo es, siendo por lo tanto S cerrado para la suma.

ii) D[(af)(x)]= D[a.f(x)]= a.Df(x). Nuevamente, la derivabilidad de f asegura la derivabilidad de af, por lo que S es también cerrado para el producto por escalares.

Luego S es un espacio vectorial. Más interesante aún, básicamente con la misma idea podemos mostrar que el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea es también un espacio vectorial: Supongamos ahora que S es el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea. Es decir,

fS ↔ a1.Dcf(x)+a2.Dc2f(x)+…+anDcnf(x)=0,

donde Dcnf(x) es la derivada n-ésima de f(x) en c y ai, i=0…n, son coeficientes reales que pueden depender de x. Usando la linealidad de la derivada, es inmediato ver que si dos funciones f y g están en S, i.e., satisfacen la ecuación diferencial, entonces la función (af)⊕(bg) también son solución de la ecuación. Esta propiedad es lo que en física conocemos como principio de superposición, y es la razón por la que podemos hablar de “fuerza resultante” dentro de la mecánica newtoniana, o de esa “superposición de estados” que hace (en parte) extraña a la mecánica cuántica.

Nota: hasta ahora vengo usando una notación que puede resultar un poco quisquillosa, y que en general no se usa en los libros. La diferencia radica en que se hace un abuso de la notación, y se utilizan los mismos símbolos para diferentes operaciones. Así, para la suma de vectores () y la suma de escalares (+) el símbolo usado es el mismo, y lo mismo pasa para el caso del producto entre escalares (× ó .) y el producto entre vectores y escalares (). Esto no es por ser un fanático del rigor ni mucho menos, sino porque creo que al menos al principio (cuando uno se entrena en probar quién es un espacio vectorial y quién no) es sano diferenciar bien las operaciones, para evitar confusiones que dificulten las demostraciones (que, en realidad, son bastante simples).

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