Álgebra lineal: Espacios vectoriales II

En la entrada anterior probamos que ℝ2 (con extensión inmediata a ℝn) es un espacio vectorial. Esta entrada va a estar dedicada a probar lo mismo para otro conjunto muy importante.

Espacio de funciones continuas

Consideremos ahora el conjunto F de todas las funciones de variable real, continuas en un dado intervalo real I. Es decir, F={f:I → ℝ / f es continua}. Definamos 2 operaciones:

1.- Sean f,gF, y x ∊ I. Llamamos suma de funciones a la operación ⊕:ℝ×ℝ → ℝ definida por (fg)(x)=f(x)+g(x), donde evidentemente el símbolo + representa la suma en ℝ, codominio de f.

2.- Sean f ∊ F, α ∊ ℝ y x ∊ I. Llamamos producto de una función por un número real a la operación ★:ℝ×FF definida por (αf)(x)=α.(f(x))

Con estas definiciones podemos analizar si F tiene estructura de espacio vectorial (EV) sobre el cuerpo de los números reales, o sea, si {F, ⊕, ℝ, +, ×, ★} es un EV. Acá podemos apreciar la ventaja de pensar a un EV como un par de estructuras vinculadas por una operación: Ya probamos para el caso de ℝ2 que {ℝ, +, ×} es un cuerpo, por lo que ya tenemos una parte lista. Nos queda probar que {F, ⊕} es un grupo abeliano, y que  ★:ℝ×F → F  verifica las propiedades 1-4 que establecimos anteriormente [1].

{F, ⊕} es un grupo abeliano:

Sean f, g y h elementos de F. Entonces

((fg)⊕h)(x) = (fg)(x)+h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+(g(x)+h(x)) = f(x)+(gh)(x) = (f(gh))(x)

Por lo que ⊕ es asociativa.

Denotemos con e a la función idénticamente nula, definida por e(x)=0 ∀ I. Es evidente que esta función es el elemento neutro de F respecto de ⊕, pues para cualquier f en F vale (fe)(x)=f(x)+e(x)=f(x)+0=f(x). También es fácil ver que para todo elemento de F existe un inverso respecto de ⊕, ya que si f ∊ F entonces f(x) ∊ ℝ, cuyo inverso –f(x)= existe siempre por ser {ℝ, +, ×} un cuerpo. Luego, definiendo f -1(x)=(-1)f(x) se tiene

e(x)=0= f(x)+(-f(x))=(ff -1)(x),

por lo que f -1 es el inverso de f respecto de ⊕. Por último, la conmutatividad de ⊕ es inmediata, pues (fg)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(gf)(x), con lo que queda probado que {F, ⊕} es un grupo abeliano.

★ verifica las propiedades 1-4

Sean a,b ∊ ℝ y f, g ∊ F.

1. El producto por escalares se distribuye en la suma de funciones, pues

 [a★(fg)](x) = a.(fg)(x) = a.(f(x)+g(x)) = a.f(x)+a.g(x) = (af)(x)+(ag)(x) =  [(af)⊕(ag)](x)

2. También hay distributividad respecto a la suma de escalares:

[(a+b)★f](x) = (a+b).f(x) = a.f(x)+b.f(x) = (af)(x)+(bf)(x) = [(af)⊕(bf)](x)

3. Asociatividad mixta:

[(a.b)★f](x) = (a.b).f(x) = a.(b.f(x))=a.[(bf)(x)]=[a★(bf)](x)

4. El elemento neutro del producto entre reales es también elemento neutro respcto del producto de funciones por escalares, pues (1★f)(x)=1.f(x)=f(x).

Con todo esto, queda probado que {F, ⊕, ℝ, +, ×, ★} es un espacio vectorial. Vale la pena llamar la atención sobre  un detalle particular: cuando probamos la existencia de elemento neutro respecto a ⊕ en F definimos f -1(x)=(-1)f(x). Usando la definición del producto por escalares, vemos que vale f -1(x)=((-1)★f)(x). Esto vale para todo espacio vectorial, independientemente del cuerpo en el que vivan los escalares. También es fácil ver que 0★f=e y ae=e, de donde se deduce también que af=e → a=0 ó f=e.

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