Álgebra lineal: Subespacios

Después de un par de ejemplos, lo que seguramente quedó claro (me gustaría pensar que no es lo único) es que probar que algo es un espacio vectorial requiere un poco de trabajo. La buena noticia (?) que traigo ahora es que en muchas ocasiones se puede tomar un atajo.

Consideremos un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. Es decir, {V, ⊕, K, +, ×, ★}, y un subconjunto SV. ¿Bajo qué condiciones es S un espacio vectorial sobre K? La definición de espacio vectorial ya está dada, por lo que es obvio que S será un espacio vectorial si y solo si cumple con la definición, por lo tanto lo que nos preguntamos es cómo usar el hecho de que V es un espacio vectorial para determinar si S también lo es. Y es más o menos fácil ver que, sabiendo que V es un espacio vectorial, no queda mucho por hacer: {K, +, ×} es un cuerpo independientemente del conjunto en el que vivan los elementos que llamamos vectores. Por otra parte la definición de ⊕ en S es simplemente la restricción de la definición para V al subconjunto S ⊆ V, lo que asegura dos cosas: Que las propiedades necesarias en ★ se verifican si solo consideramos S como el conjunto de vectores, pues son heredadas de V, y que las condiciones para que {S, ⊕} sea un grupo abeliano se satisfacen, puesto que se satisfacen en V.

¿Es, entonces, {S, ⊕, K, +, ×, ★} un espacio vectorial para cualquier S ⊆ V? La respuesta es no. Si bien las propiedades se heredan y todo el trabajo parece estar ya hecho, hay algo que previene que cualquier subconjunto de un espacio vectorial sea también un espacio vectorial, y es que las restricciones de ⊕ y ★ al subconjunto S deben estar bien definidas. Es decir, para vectores en S debe valer ★: S×KS, y la restricción de ⊕ a S debe ser una ley de composición interna. Resumimos estas condiciones diciendo que S es “cerrado” para la suma y el producto por escalares.

Condición suficiente:

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y S ⊆ V un conjunto no vacío. Si se verifica:

i) ∊  Λ  ∊ S → x∊ S.

ii)  Λ  ∊ S → a S.

Entonces S es un espacio vectorial sobre K.

Vamos a ver cómo funciona esto con algún ejemplo. Habíamos mostrado que el espacio real de dimensión 3 (ℝ3) es un espacio vectorial sobre el cuerpo de reales. Tomemos ahora como subconjunto S al plano definido por la ecuación z=x+y, y veamos si es un espacio vectorial sobre ℝ.

i) Sean u=(x,y,z) ∊ S Λ v=(u,v,w) ∊ S (y por lo tanto en ℝ3). La suma en ℝ3 es la suma usual en el conjunto de matrices, por lo que uv=(x+u,y+v,z+w). Ahora bien, como u y v están en S vale z=x+y Λ w=u+v, por lo que uv=(x+u,y+v,(x+y)+(u+w))=(x+u,y+v,(x+u)+(y+w)), donde la última igualdad resulta de la asociatividad de la suma en ℝ. Vemos entonces que la suma de dos elementos de S es un elemento de S, puesto que verifica la ecuación del plano.

ii) Por la definición de ★ y de S,

au=a(x,y,z)=(a.x,a.y,a.z)=(a.x,a.y,a.(x+y))=(a.x,a.y,a.x+a.y),

Por lo que a∊ S, ya que verifica la ecuación del plano.

Por i) y ii), entonces, el plano definido por la ecuación z=x+y es un espacio vectorial. Fácil, ¿No?. También es fácil mostrar que cualquier subconjunto del espacio real que contenga al 0 (el origen) es también un espacio vectorial. Pero eso para más adelante.

Quiero mostrar, para terminar, un ejemplo dentro del espacio de funciones. Consideremos el conjunto S de funciones de variable real, derivables en cierto intervalo abierto (a,b). Este es, claramente, un subconjunto del conjunto de funciones continuas en [a,b], pues la derivabilidad implica continuidad, y sabemos que este conjunto, F={f:I⊆ℝ → ℝ / f es continua en [a,b]}, es un espacio vectorial sobre ℝ. Vemos entonces que S es un espacio vectorial sobre ℝ, por el solo hecho de que la derivada es lineal:

Sean f y g elementos de S, y c un punto cualquiera de (a,b). Denotemos con Dc a la derivada en el punto c.

i) Dc [(fg)(x)]= D[f(x)+g(x)]= Df(x)+Dg(x). Como f y g son derivables por hipótesis se tiene que fg también lo es, siendo por lo tanto S cerrado para la suma.

ii) D[(af)(x)]= D[a.f(x)]= a.Df(x). Nuevamente, la derivabilidad de f asegura la derivabilidad de af, por lo que S es también cerrado para el producto por escalares.

Luego S es un espacio vectorial. Más interesante aún, básicamente con la misma idea podemos mostrar que el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea es también un espacio vectorial: Supongamos ahora que S es el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea. Es decir,

fS ↔ a1.Dcf(x)+a2.Dc2f(x)+…+anDcnf(x)=0,

donde Dcnf(x) es la derivada n-ésima de f(x) en c y ai, i=0…n, son coeficientes reales que pueden depender de x. Usando la linealidad de la derivada, es inmediato ver que si dos funciones f y g están en S, i.e., satisfacen la ecuación diferencial, entonces la función (af)⊕(bg) también son solución de la ecuación. Esta propiedad es lo que en física conocemos como principio de superposición, y es la razón por la que podemos hablar de “fuerza resultante” dentro de la mecánica newtoniana, o de esa “superposición de estados” que hace (en parte) extraña a la mecánica cuántica.

Nota: hasta ahora vengo usando una notación que puede resultar un poco quisquillosa, y que en general no se usa en los libros. La diferencia radica en que se hace un abuso de la notación, y se utilizan los mismos símbolos para diferentes operaciones. Así, para la suma de vectores () y la suma de escalares (+) el símbolo usado es el mismo, y lo mismo pasa para el caso del producto entre escalares (× ó .) y el producto entre vectores y escalares (). Esto no es por ser un fanático del rigor ni mucho menos, sino porque creo que al menos al principio (cuando uno se entrena en probar quién es un espacio vectorial y quién no) es sano diferenciar bien las operaciones, para evitar confusiones que dificulten las demostraciones (que, en realidad, son bastante simples).

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Álgebra lineal: Espacios vectoriales II

En la entrada anterior probamos que ℝ2 (con extensión inmediata a ℝn) es un espacio vectorial. Esta entrada va a estar dedicada a probar lo mismo para otro conjunto muy importante.

Espacio de funciones continuas

Consideremos ahora el conjunto F de todas las funciones de variable real, continuas en un dado intervalo real I. Es decir, F={f:I → ℝ / f es continua}. Definamos 2 operaciones:

1.- Sean f,gF, y x ∊ I. Llamamos suma de funciones a la operación ⊕:ℝ×ℝ → ℝ definida por (fg)(x)=f(x)+g(x), donde evidentemente el símbolo + representa la suma en ℝ, codominio de f.

2.- Sean f ∊ F, α ∊ ℝ y x ∊ I. Llamamos producto de una función por un número real a la operación ★:ℝ×FF definida por (αf)(x)=α.(f(x))

Con estas definiciones podemos analizar si F tiene estructura de espacio vectorial (EV) sobre el cuerpo de los números reales, o sea, si {F, ⊕, ℝ, +, ×, ★} es un EV. Acá podemos apreciar la ventaja de pensar a un EV como un par de estructuras vinculadas por una operación: Ya probamos para el caso de ℝ2 que {ℝ, +, ×} es un cuerpo, por lo que ya tenemos una parte lista. Nos queda probar que {F, ⊕} es un grupo abeliano, y que  ★:ℝ×F → F  verifica las propiedades 1-4 que establecimos anteriormente [1].

{F, ⊕} es un grupo abeliano:

Sean f, g y h elementos de F. Entonces

((fg)⊕h)(x) = (fg)(x)+h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+(g(x)+h(x)) = f(x)+(gh)(x) = (f(gh))(x)

Por lo que ⊕ es asociativa.

Denotemos con e a la función idénticamente nula, definida por e(x)=0 ∀ I. Es evidente que esta función es el elemento neutro de F respecto de ⊕, pues para cualquier f en F vale (fe)(x)=f(x)+e(x)=f(x)+0=f(x). También es fácil ver que para todo elemento de F existe un inverso respecto de ⊕, ya que si f ∊ F entonces f(x) ∊ ℝ, cuyo inverso –f(x)= existe siempre por ser {ℝ, +, ×} un cuerpo. Luego, definiendo f -1(x)=(-1)f(x) se tiene

e(x)=0= f(x)+(-f(x))=(ff -1)(x),

por lo que f -1 es el inverso de f respecto de ⊕. Por último, la conmutatividad de ⊕ es inmediata, pues (fg)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(gf)(x), con lo que queda probado que {F, ⊕} es un grupo abeliano.

★ verifica las propiedades 1-4

Sean a,b ∊ ℝ y f, g ∊ F.

1. El producto por escalares se distribuye en la suma de funciones, pues

 [a★(fg)](x) = a.(fg)(x) = a.(f(x)+g(x)) = a.f(x)+a.g(x) = (af)(x)+(ag)(x) =  [(af)⊕(ag)](x)

2. También hay distributividad respecto a la suma de escalares:

[(a+b)★f](x) = (a+b).f(x) = a.f(x)+b.f(x) = (af)(x)+(bf)(x) = [(af)⊕(bf)](x)

3. Asociatividad mixta:

[(a.b)★f](x) = (a.b).f(x) = a.(b.f(x))=a.[(bf)(x)]=[a★(bf)](x)

4. El elemento neutro del producto entre reales es también elemento neutro respcto del producto de funciones por escalares, pues (1★f)(x)=1.f(x)=f(x).

Con todo esto, queda probado que {F, ⊕, ℝ, +, ×, ★} es un espacio vectorial. Vale la pena llamar la atención sobre  un detalle particular: cuando probamos la existencia de elemento neutro respecto a ⊕ en F definimos f -1(x)=(-1)f(x). Usando la definición del producto por escalares, vemos que vale f -1(x)=((-1)★f)(x). Esto vale para todo espacio vectorial, independientemente del cuerpo en el que vivan los escalares. También es fácil ver que 0★f=e y ae=e, de donde se deduce también que af=e → a=0 ó f=e.

Álgebra lineal: ¿Qué es una estructura algebraica?

La base del álgebra lineal está en el concepto de espacio vectorial. Un espacio vectorial es una estructura algebraica. ¿Y qué es una estructura algebraica?

Podemos empezar a contestar esa pregunta hablando sobre operaciones binarias. Supongamos tenemos 3 conjuntos A, B y C. Una operación binaria es aquella que a un par de elementos formado, por ejemplo, por un elemento de A y otro B, le asigna un elemento de C. Dicho de una manera más útil, la operación binaria es una aplicación del producto cartesiano de A y B en el conjunto C. Podemos escribir esto como ⊙:A × B→C, donde ⊙ representa a la operación. Así, si a es un elemento de A, b un elemento de B, y c el elemento de C asignado al par (a,b) de A × B, tenemos ⊙(a,b)=ab=c. Esto es cosa de todos los días, aunque no parezca. Por ejemplo, la suma 1+1=2 puede escribirse como +(1,1)=2. La operación +:N × N→N es una operación binaria.

De todas las posibles operaciones binarias nos interesa un subconjunto, denominado leyes de composición. Básicamente, son aquellas operaciones binarias en las que solo intervienen dos conjuntos o uno solo. En el primer caso hablamos de una ley de composición externa, y en el segundo, de una ley de composición interna. Esta imagen de Wikipedia es bastante clara:

ley de composicion

Vemos que la operación suma, mencionado arriba, es una ley de composición interna.

Con esto, ya podemos hablar de estructuras. Una estructura algebraica es, en el caso más simple, un objeto compuesto por un conjunto (no vacío) y una ley de composición interna. En casos más complicados, podemos tener más de una ley de composición interna, o también leyes de composición externa. Veamos algunos ejemplos, que nos van a servir para definir más adelante qué es un espacio vectorial.

Monoide

La estructura más simple es un monoide. Un monoide es simplemente un par (M,⊙), donde M es un conjunto no vacío y ⊙ es una ley de composición interna en M, es decir, ⊙: M×M→M, a la que exigimos dos propiedades: Asociatividad, y existencia de elemento neutro en el conjunto. Con asociatividad, lo que queremos decir es que si a, b, y c son 3 elementos cualquiera en M, entonces (ab)⊙c=a⊙(bc). La segunda condición, implica exigir la existenca de eM, tal que para cualquier aM vale que ae=ea=a. Ejemplo de monoide es el conjunto de números naturales con la operación producto: (ℕ,×).

Grupo

Un grupo es un par (G,⊙), donde G es un conjunto no vacío y ⊙ es una ley de composición interna a la que, además de asociatividad y existencia de elemento neutro, le exigimos también, para todo elemento de G, la existencia de un inverso respecto de ⊙. Precisemos lo que queremos decir con inverso: Dado un elemento a en G, existe otro elemento a^-1, tal que aa^-1=a^-1a=e. Ejemplos de esta estructura podemos encontrar en el conjunto de los números reales junto con el producto, (ℝ,×) o el conjunto de los números enteros con la suma (ℤ,+). Si además de cumplir las condiciones mencionadas, la operación es conmutativa, esto es, ab=baa,b ∊ G, el grupo se denomina abeliano.

Cuerpo

A diferencia de los ejemplos anteriores, un cuerpo es una terna. En este caso tenemos un conjunto K, y dos leyes de composición interna, ⊕ y ⊗. Decimos que la terna (K,⊕,⊗) es un grupo si:

1.(K,⊕) es un grupo abeliano

2.(K-{0},⊗) es un grupo abeliano.

3.a⊗(b⊕c)=(a⊗b)⊕(a⊗c) ∀a, b, c ∊ K.

donde 0 denota el elemento neutro respecto de la operación ⊕ y la condición 3 es simplemente la distributividad de ⊗ respecto de ⊕.

Nuevamente tenemos un ejemplo familiar de cuerpo en el conjunto de los números reales, tomando ⊕ como la suma y ⊗ como el producto. Es decir, (ℝ,+,×) es un grupo.

Y acá lo dejo. De más está decir que esta pequeña mención a las estructuras algebraicas es apenas una mirada a la superficie del tema, que como tantos otros puede volverse tan complejo y sofisticado (e interesante) como se quiera. No obstante, alcanza para empezar a definir de forma simple y precisa lo que es un espacio vectorial, objeto de estudio del álgebra lineal.