Pequeño o muy lejos?

Que a la distancia los objetos se ven más pequeños de lo que realmente son es algo que todos sabemos por experiencia, puesto que es un fenómeno cotidiano. Probablemente por esta misma razón, es que normalmente no nos preguntamos por qué esto es así.

Para empezar a dar una respuesta conviene recordar cómo es que vemos los objetos en primer lugar: la luz viaja desde esos objetos (sea por que el objeto la emite o la refleja) hasta nuestros ojos y estos transforman la luz recolectada en impulsos eléctricos, que son enviados a nuestro cerebro a través del nervio óptico. Dar una descripción detallada de todo este proceso constituye una tarea muy difícil que requeriría un conocimiento profundo no solo de la teoría electromagnética, sino también del funcionamiento de un órgano complejo como es el ojo. Afortunadamente no es necesario tal nivel de detalle para contestar a esta pregunta, y de hecho lo único que necesitamos saber es que para nuestro problema nos alcanza con considerar que la luz viaja de un punto al otro a lo largo de «rayos».

La luz se propaga siguiendo un camino recto en el espacio. Estos caminos se llaman «rayos».

Los rayos son las trayectorias en el espacio por las que la luz se propaga. Sin entrar en detalles, podemos decir que estas trayectorias quedan determinadas por dos dos restricciones: i) La luz se propaga por trayectorias que hacen mínimo* el tiempo de propagación y ii) la velocidad de la luz está determinada por la constitución del medio en el que se propaga. En nuestro problema el medio de propagación es el aire, al cual podemos considerar en la enorme mayoría de los casos como homogéneo e isótropo, que es una forma de decir que tiene la misma constitución en todas partes y en todas las direcciones. En este caso, las restricciones implican que la luz ha de propagarse en línea recta. (hay, por supuesto, situaciones en las que los rayos son curvas más complicadas, siendo el espejismo rutero el caso más cotidiano).

La altura «h» del objeto es percibida mediante el ángulo que forman los rayos exteriores (en verde). Esto proporciona, sin embargo, una noción aparente de altura.

Podemos ahora entender cómo es que percibimos el tamaño de las cosas. En la figura de arriba se muestra un objeto con una altura «h», un obervador (representado por un ojo) que ve el objeto, y unos cuantos rayos que muestran cómo llega la luz al ojo desde el objeto. Es claro que la altura del objeto se expresa, en la luz que llega la ojo, a través del ángulo «a» que forman los rayos marcados con color verde. Pero esta altura percibida solo es aparente, puesto que si bien es posible recuperar el valor de «h» si conocemos la distancia «d» (mediante un cálculo trigonométrico), la información sobre esta última no viene incluida en la señal luminosa.

Alejemos ahora al observador, como se muestra en la figura siguiente:

Al alejarse el observador el ángulo formado por los rayos exteriores se hace más agudo. Como consecuencia, la altura percibida se reduce.

vemos que ahora el ángulo » a’ » que subtienden los rayos exteriores (el resto los obviamos en el dibujo para más claridad) es menor para el observador a distancia «d’ «. El resultado es entonces que el observador más lejano percibe como más pequeño al objeto, aún cuando este no cambia de tamaño.

Esta explicación parece razonable, pero inmediatamente surge un problema. Según este razonamiento no seríamos capaces de distinguir, usando solo la vista, si un objeto es pequeño o está lejos. Pero sabemos por propia experiencia que sí podemos distinguir los dos casos normalmente. Lo hacemos todo el tiempo. ¿Cómo es eso posible? La respuesta** es simple: contexto. Si bien nuestra visión binocular nos provee de un sentido de profundidad (de otra manera no podríamos percibir el carácter tridimensional de las cosas que nos rodean), no nos provee de un sentido de distancia absoluta. La distancia, y en consecuencia el tamaño, que asignamos a los objetos viene inferida por nuestro entendimiento de su contexto. Así es como diferenciamos, por ejemplo, una vaca real a la distancia de una miniatura con forma de vaca. Interesante es notar, sin embargo, que esta forma de asignar tamaños puede llevar a errores. Esto se ve muy claramente en la ilusión de Ebbinghaus:

 

En esta imagen, contrario a lo que pueda parecer, los dos círculos centrales son exactamente del mismo tamaño. Sin embargo el círculo a la derecha nos parece de mayor radio. La razón es el contexto: el círculo de la derecha nos parece más grande porque está rodeado de círculos pequeños.

*No siempre el tiempo es mínimo, pero para el caso podemos tomarnos esta licencia. Para ser precisos, deberíamos decir que el tiempo de propagación toma un valor estacionario. Eso quiere decir que el tiempo de propagación, como función(al) del camino debe tomar un valor extremo cuando se evalúa a lo largo del camino correcto.

**Un poco sobre simplificada.

El péndulo de Foucault

La mecánica de Newton nos dice que el estado de movimiento de un cuerpo cambia como resultado de su interacción de otros cuerpos; en otras palabras, si un cuerpo acelera es porque hay fuerzas ejerciéndose sobre este, y viceversa. Pero debemos recordar que el movimiento siempre se describe en relación a un sistema de referencia, y hay sistemas de referencia (conocidos como «no inerciales») en los que esta correspondencia entre fuerza y aceleración no es válida. Podemos, no obstante, utilizar las leyes de Newton para estudiar cuerpos en movimiento desde un sistema de referencia no inercial si introducimos «fuerzas ficticias», esto es, fuerzas que den cuenta de las aceleraciones que experimenta el cuerpo que observamos, pero que no podemos asociar a interacciones de éste con otros cuerpos.

Debido a la rotación de la Tierra respecto a su eje, un sistema de referencia en reposo respecto a al planeta será un sistema no inercial, y al estudiar el movimiento de cuerpos desde tales referenciales nos encontraremos con aceleraciones que no podemos asociar a ninguna interacción. En particular, si estudiamos cuerpos que se desplazan sobre la superficie vamos a encontrar que estos experimentan una aceleración hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur, que varía dependiendo de su velocidad y latitud. Esta es la aceleración de Coriolis. Como la magnitud de la aceleración de Coriolis es proporcional a la velocidad angular de la Tierra y ésta es muy baja -recordar que el período es de 24hs-, sus efectos normalmente no son apreciables y se tienen en cuenta solo en situaciones particulares, en las que las velocidades son relativamente grandes y/o las trayectorias implican una variación apreciable en la latitud del móvil. El péndulo de Foucault es la más famosa de las excepciones a esta última afirmación.

Leon Foucault, nacido en Francia en 1819, incursionó en la fotografía (daguerrotipia, precisamente) tras decidir que la medicina no era para él. Entre sus trabajos, en particular, se encontraba la fotografía de estrellas, que resulta un trabajo de cierta complejidad por una razón muy sencilla: la tenue luz de los astros exige una exposición prolongada, y la posición de las estrellas en el firmamento varía con el tiempo. Como era bueno con las herramientas se las apañó para construir, en el taller que instaló en el sótano de su casa, un dispositivo que corregía la orientación de la cámara de manera que esta apuntara a la estrella elegida durante toda la exposición. Trabajando en estos dispositivos durante el año 1850, al parecer, accidentalmente golpeó una varilla metálica que tenía fijada a un torno, y notó que el plano de oscilación de la varilla no cambiaba su orientación al girar el mandril del torno. De esta observación dedujo que si se construyera un péndulo sobre una base giratoria el plano de oscilación de éste debería ser insensible a la rotación de la plataforma, y por lo tanto un observador en reposo respecto a la plataforma -no inercial- debería verlo rotar. Consecuencia inmediata de esta inferencia, evidente para Foucault, es que la rotación de nuestro planeta debería manifestarse a través de la rotación del plano de oscilación de un péndulo fijo a su superficie. Podemos explicar este comportamiento desde un referencial en reposo respecto a Tierra con la ayuda de la fuerza de Coriolis: al liberar la lenteja del péndulo desde una posición alejada de la vertical esperaríamos, si miramos desde arriba, que ésta siga una trayectoria recta hasta alcanzar una nueva posición de velocidad nula para luego retornar a su posición inicial, pasando en ambos desplazamientos por su punto de equilibrio. Debido a la fuerza de Coriolis, sin embargo, en cada desplazamiento la lenteja experimentará una deflexión hacia la izquierda -estamos en Argentina-, y por lo tanto no solo no retornará a la posición de equilibrio en ningún momento, sino que tampoco retornará a la posición inicial tras una oscilación completa. En la siguiente figura se ilustra, de manera exagerada, la deflexión en la trayectoria de la lenteja durante una oscilación completa.

 

En cada oscilación observaremos entonces un desplazamiento hacia la izquierda del punto de retorno, es decir, observaremos que el plano de oscilación del péndulo rota. Como esta rotación es provocada por la aceleración de Coriolis está claro que la velocidad angular del plano disminuirá, al variar la latitud del péndulo, de 1 revolución cada 24 hs en el polo a 0 en el Ecuador.

En este punto es importante notar que nuestro análisis sólo tiene en cuenta la acción del campo gravitatorio y la fuerza de Coriolis sobre la lenteja. En un péndulo real hay otros efectos a considerar, como la disipación de energía por roce, o la incidencia en la trayectoria de corrientes de aire. En un péndulo ordinario, como los que podemos usar para determinar la aceleración de la gravedad en el laboratorio, todos estos efectos son importantes y no llegamos a ver los efectos de la fuerza de Coriolis, que en comparación son despreciables. Foucault entendía esto, por lo que se dedicó a la construcción de un péndulo en el que la rotación del plano de oscilación fuese notoria. Su dispositivo consistía de una lenteja simétrica de 5kg, para minimizar los efectos de corrientes de aire y otras perturbaciones en la trayectoria, y una cuerda de 2 metros; cuanto mayor la longitud, menor la velocidad de la lenteja y consecuentemente menores las pérdidas por rozamiento. Finalmente, para eliminar cualquier acción externa en el inicio del movimiento, ató la pesa a la pared con una cuerda de algodón, esperó a que estuviese totalmente quieta y quemó la cuerda con una vela. Tras unos minutos de poner su péndulo en funcionamiento, Foucault ya podía observar cómo el plano de oscilación cambiaba su orientación tal y como él esperaba. El logro no era menor: por primera vez se tenía evidencia no astronómica de la rotación de la Tierra.

El 3 de febrero de 1851 presentó oficialmente los resultados a la Academia de Ciencias Francesa. Dicha academia envió invitaciones con el mensaje: Está usted invitado a ver cómo gira la Tierra, en la sala central del Observatorio de París. Así el experimento saltó a la fama, llegando a oídos de  Louis-Napoleón Bonaparte, futuro Napoleón III, quién pidió una repetición de la experiencia en el Panteón París. Para este evento Foucault aumentó la longitud de la cuerda a 67 metros, y empleó una lenteja de 28kg.

Actualmente se exhiben réplicas del péndulo de Foucault en múltiples museos y universidades en todo el mundo y, de hecho, la ciudad de La Plata alberga una de estas réplicas dentro del Teatro Argentino.

Efecto Coriolis

El efecto Coriolis es una consecuencia de estudiar el movimiento de los cuerpos desde un sistema de referencia particular. Los sistemas de referencia pueden clasificarse en «inerciales» y «no inerciales», y la diferencia entre estas clases está en que las leyes de Newton son válidas en la primera pero no en la segunda. En particular, un sistema de referencia que rota respecto a un sistema inercial es no inercial, y es precisamente éste el caso en el que surge el efecto Coriolis. Para aclarar un poco, imaginemos un cañón en reposo en el origen de un sistema de referencia inercial K y un segundo sistema de referencia K’ con el mismo origen, pero rotando respecto al primero sobre una plataforma giratoria con velocidad angular constante ω, tal como se muestra en la figura

En el instante t=0 el cañón dispara un proyectil. En el sistema de referencia inercial la situación es muy simple: Como no hay acciones externas el proyectil va a mantener su estado de movimiento (esta es la primera ley de Newton), siguiendo una trayectoria recta. En el sistema de referencia en rotación el movimiento es un poquito más complicado pues esta trayectoria recta va a aparecer curva, lo que implica que, para este observador, la bala aparecerá como acelerada. Si este observador utilizara las leyes de Newton se vería obligado a concluir que una fuerza de origen desconocido actúa sobre el proyectil, causando la curvatura en la trayectoria. Esta fuerza es ficticia, puesto que surge de utilizar las leyes de Newton en un sistema de referencia no inercial.

En 1835 el ingeniero Gaspard-Gustave de Coriolis se dedicó a estudiar el movimiento de cuerpos en sistemas de referencia en rotación y encontró que esta fuerza ficticia puede descomponerse en dos contribuciones. La primera es la fuerza centrífuga por todos conocida; esa fuerza que sentimos que nos empuja contra la puerta cuando vamos por una curva en el auto. La otra contribución es hoy conocida como fuerza de Coriolis, pero en su momento él la llamó fuerza centrífuga compuesta, y determinó que depende tanto de la velocidad v de la bala como de la velocidad angular ω entre los sistemas. Esta aceleración de Coriolis es responsable por la curvatura en la trayectoria del proyectil. 

Movimiento relativo a la Tierra

Como la Tierra gira en torno a un eje propio un observador sobre su superficie es un observador no inercial, y por lo tanto está en la situación del observador en rotación discutido más arriba. De manera que al estudiar el movimiento de un cuerpo desde nuestro laboratorio, en reposo respecto a la Tierra, vamos a observar que su trayectoria se ve afectada por la aceleración de Coriolis.

Volvamos al cañón del ejemplo anterior. Supongamos que está sobre la superficie de la Tierra y dispara sus proyectiles en dirección horizontal. Si estamos en reposo respecto al cañón esperaríamos ver que el proyectil se aleja en línea recta hacia adelante con velocidad constante, pero no es el caso. Debido a la rotación de la Tierra vamos a encontrar que, de hecho, la trayectoria se desvía siempre hacia la derecha si estamos en el hemisferio norte, o siempre hacia la izquierda si es que estamos en el hemisferio sur. Podemos entender por qué ésta es la trayectoria del proyectil sin hacer cálculos, si en lugar de quedarnos fijos a la superficie de la Tierra nos imaginamos levitando sobre esta, de manera de percibir su rotación (o sea, si nos cambiamos a un referencial inercial). Además, como la velocidad en cualquier dirección puede descomponerse en una contribución en dirección Norte-Sur más una contribución Este-Oeste, con entender estos dos casos va a ser suficiente.

Movimiento en dirección Norte-Sur

Supongamos que el cañón está en algún punto de latitud λ1 en el hemisferio norte y dispara el proyectil hacia el Norte, como se ve en el dibujo de abajo. Como el cañón está fijo a la superficie de la Tierra vamos a ver que el proyectil tiene no solo velocidad en dirección hacía el polo sino también una componente de velocidad hacia el Este igual a la velocidad con la que vemos moverse a la superficie, debido a la inercia. En otras palabras, vamos a ver que además de ir hacia el Norte el proyectil sigue rotando con la Tierra. Para saber qué trayectoria va a describir el proyectil podemos considerar su momento angular. Lo importante para nosotros sobre esta cantidad es que implica que el producto entre la velocidad de rotación ω del proyectil y el cuadrado de su distancia al eje de la Tierra, r^2, debe mantenerse constante. Ahora bien, como la distancia desde la superficie al eje de la Tierra disminuye al aumentar la latitud, como se aprecia en el dibujo, en su camino en dirección Norte el proyectil va a ir acercándose más y más al eje, lo que implica que la velocidad a la que rota debe aumentar para mantener constante el producto ω.r^2, y por lo tanto debe adelantar a la Tierra en su movimiento de rotación. Como resultado, vamos a ver que el proyectil no solo se desplaza respecto a la superficie en dirección Norte, sino también en dirección Este. Si por, por el contrario, el disparo fuese hacia el Sur, entonces en su viaje el proyectil se va a alejar del eje, y como resultado su velocidad de rotación va a disminuir, atrasando respecto de la superficie de la Tierra, y aterrizando en un lugar más al Oeste del inicial.

Un observador situado sobre la superficie, evidentemente, debe observar el mismo desplazamiento del proyectil respecto al suelo. Pero como no puede percibir la rotación de la Tierra no puede hacer el mismo análisis que nosotros. Este observador nota el mismo cambio en la velocidad del proyectil relativa al suelo, y por las leyes de Newton deduce que una fuerza debe estar actuando sobre éste, aunque su origen es desconocido. Ésta es la fuerza de Coriolis.

Movimiento en dirección Este-OestE

Supongamos nuevamente que nuestro cañón está en algún punto con latitud λ. El cañón no está adherido a la superficie, sino que simplemente está apoyado, y se mantiene en reposo respecto al suelo gracias a la acción de la gravedad terrestre.  Por estar describiendo una trayectoria circular el cañón acelera hacia el eje de rotación, pues de otra forma se desplazaría sobre la superficie. La fuerza que le imprime esa aceleración no es otra que la gravedad; podemos pensar que parte del peso del cañón (y el proyectil en su interior) se invierte en modificar constantemente su velocidad para mantenerlo en reposo sobre la superficie, de manera que lo que medimos con una balanza no es el total de la acción de la gravedad, sino la fuerza neta que queda tras confinarlo a estar en el suelo. Pero disparemos ahora el proyectil. Si lo disparamos hacia el Este la velocidad v que le imprime el cañón se va sumar a la velocidad de rotación de la Tierra,  y como ahora la velocidad neta es mayor hace falta invertir una parte mayor del peso para confinarlo sobre la superficie. En dirección vertical la tendencia a alejarse va a ser compensada por el peso (el que medimos con la balanza), pero en la dirección horizontal no hay fuerza para compensar.  La siguiente figura ilustra esta situación.

El resultado entonces es que el proyectil va a alejarse en dirección Sur si estamos en el hemisferio norte, y en dirección Norte si estamos en el hemisferio sur. La trayectoria, por lo tanto, se desvía hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Si, por el contrario, disparamos hacia el oeste, la velocidad v se va a restar de la velocidad de rotación de la Tierra; la velocidad neta va a ser menor y por lo tanto una parte menor del peso es necesaria para confinar el proyectil a la superficie. Como ahora la gravedad hace más fuerza de la necesaria en dirección hacia el eje de rotación y no hay otra fuerza que la compense en dirección paralela al piso, el resultado es que el proyectil va a acelerar hacia el Norte (hacia la derecha) en el hemisferio norte y hacia el Sur (hacia la izquierda) en el hemisferio sur.

Un observador sobre la superficie de la Tierra va a ver el mismo desplazamiento del proyectil respecto al suelo, pero al no percibir la rotación de la Tierra se ve obligado a concluir que una fuerza de origen desconocido acelera el proyectil apartándolo de una trayectoria que, de otra manera, sería recta. Esta es la aceleración de Coriolis.

Vemos entonces que tanto en la dirección Norte-Sur como en la dirección Este-Oeste la rotación de la Tierra deflecta las trayectorias hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. No solamente eso, sino que es posible demostrar que en los dos casos la aceleración hacia la derecha de la trayectoria es de la misma magnitud: 2ωvSen(λ), donde ω es la velocidad angular de la Tierra, y  v y λ son la velocidad del proyectil respecto a tierra y la latitud, como siempre. Podemos describir entonces al efecto Coriolis como una tendencia de los cuerpos en movimiento a retornar a su posición inicial, que es despreciable cerca del ecuador, y se hace más importante a medida que nos acercamos a los polos. La baja velocidad angular ω de la Tierra (una revolución cada 24 hs) hace que el efecto no sea apreciable a la escala en la que hacemos la mayoría de las cosas. Así, mientras elefecto Coriolis es importante para el disparo de un misil intercontinental, que tiene un gran tiempo de vuelo, es completamente despreciable para alguien practicando tiro en un polígono.

La aceleración de Coriolis tiene gran importancia para la meteorología, pues es un efecto con una fuerte incidencia en el movimiento de grandes masas de aire. La siguiente imagen, tomada por el satélite METEOSAT-7 EN 2011, representa una espectacular manifestación del efecto Coriolis

En la imagen, prácticamente sobre el mismo meridiano se muestran dos ciclones ocurriendo simultáneamente: Thane, Al norte del Ecuador y sobre la costa India, y Benilde, al sur del Ecuador y sobre el océano Índico. Debido a que están en diferentes hemisferios estos ciclones rotan en sentido contrario. El ciclón Benilde rota en sentido horario mientras Thane rota en sentido antihorario.

Del horizonte y otros demonios

El horizonte es esa línea que vemos separar al agua del cielo cuando vamos a la playa. Si viviésemos en un plano infinito, el horizonte sería una línea exactamente a la altura de los ojos, conteniendo el punto de fuga donde las cosas parecen desaparecer en la distancia, y las líneas paralelas parecen cortarse debido a la perspectiva. Pero ese no es el caso. Como la Tierra tiene una forma muy aproximadamente esférica, el horizonte no es una línea imaginaria sino que es un lugar sobre la superficie, como muestra la figura siguiente

Las líneas punteadas son líneas de visión; muestran el camino que recorre la luz hasta nuestros ojos tras reflejarse en las cosas que vemos. Cuando estamos en la playa y miramos al horizonte la línea de visión, marcada con puntos blancos en el dibujo, es la recta tangente a la superficie de la Tierra, y el punto de tangencia marcado es precisamente el centro de la línea que llamamos horizonte (la línea marcada en verde en el dibujo). Si miramos más arriba vamos a ver el cielo, y si miramos más abajo vamos a ver el agua, como muestran las líneas en rojo.

De manera que el horizonte que vemos no está allá en el infinito, sino sobre la superficie, a alguna distancia de nosotros. Pero, ¿A qué distancia? Volvamos a la pizarra:

El dibujo muestra nuestra posición a una altura h sobre la superficie de la Tierra, representada por el círculo grande de radio R, y dos distancias al lugar donde vemos el horizonte. La distancia d se mide en línea recta desde donde estamos. La distancia s mide cuánto tendríamos que movernos sobre la superficie, si bajamos de donde estamos y viajamos por tierra/agua hasta ese lugar. Como se ve en la figura, averiguar cuánto vale d es fácil; solamente hay que usar el teorema de Pitágoras. Calcular s es un poquito más difícil porque requiere encontrar la ecuación de la recta que une nuestra posición y el punto donde está el horizonte, pero la dificultad es mínima. Si ahora consideramos que el radio de la Tierra es R=6371km, y que cuando estamos parados en la playa la altura h de nuestros ojos ronda los 1.7m, entonces usando las ecuaciones de la figura encontramos que ambas distancias, d y s nos dan aproximadamente el mismo valor de 4.6km de distancia. O sea que, aunque sorprenda un poco, eso que parece tan lejano no está más allá de 5km. Una cosa que se aprecia en el dibujo, y se ve en las formulitas que sacamos para d y s, es que la distancia se hace más grande si h es más grande. Esto dicho de otra manera, es algo que todos intuitivamente sabemos: Si vamos más arriba, podemos ver más lejos.

Hasta acá vamos bien, pero esto es pura geometría. No estamos teniendo en cuenta algo importante: La atmósfera. Vemos el horizonte porque la luz se refleja en la superficie y viaja hasta nosotros. Pero esa luz se propaga en la atmósfera, y como la densidad de ésta es diferente a diferentes alturas esos rayos que dibujamos rectos en realidad deberían ser líneas curvas, debido a la refracción. ¿Cómo tener en cuenta este efecto en los cálculos?

Un tratamiento detallado del problema requeriría de ecuaciones diferenciales y otras sofisticaciones que lo harían muy difícil, pero si suponemos que la densidad (y por lo tanto el índice de refracción) de la atmósfera solo depende de la altura podemos atacarlo usando nada más que geometría. En la figura que sigue se esquematiza la refracción de un rayo en esta atmósfera simplificada

Ahora bien, en los primeros 2 kilómetros de altura el cambio en el índice de refracción es muy aproximadamente proporcional a la altura, disminuyendo una cantidad de 40×10^-5 por cada kilómetro (estos son valores estándar). Esta proporcionalidad implica que la forma del rayo es de arco de círculo. ¿Con qué radio? Eso es fácil: En la figura concluimos que para que el rayo describa un círculo de radio C, el producto entre C y el valor del índice de refracción debe permanecer constante. Eso quiere decir que la variación del índice con la altura tiene que ser igual al recíproco del radio C, de otra manera el producto no sería constante. Por lo tanto, el radio del rayo será de 25000km en condiciones atmosféricas normales.

Nuestra situación ahora que tomamos en cuenta el efecto de la refracción atmósférica es como la que se muestra del lado izquierdo en la siguiente figura. El rayo que representa nuestra línea de visión es un arco de círculo de 25000km, y el horizonte se encuentra en el punto en el que este arco es tangente a la superficie de la Tierra, que tiene 6371km de radio

Pero precisamente porque la línea de visión describe un arco de círculo, esta situación es equivalente tener una Tierra sin refracción atmosférica, pero con un radio más grande, de unos 8500km (4/3 del radio real), como se muestra en la derecha de la figura. Y eso es una suerte, porque entonces podemos corregir nuestro cálculo de la distancia al horizonte usando las mismas ecuaciones de antes, pero utilizando estos 8500km para el radio terrestre. Haciendo estas cuentas, encontramos que la distancia al horizonte, corregida por refracción atmosférica es de unos 5.4km. Vemos entonces que el efecto de la refracción es importante, puesto que el valor corregido difiere en un 15% del valor puramente geométrico.

Llegado este punto, estaría bien darle un poco más de utilidad las cuentas que hicimos. Tomemos la siguiente foto:

Lo que se ve a lo lejos es Mallorca. La foto fue sacada por Alfons Puertas, Meterólogo del Observatorio Fabra, ubicado a unos 415m sobre el nivel del mar, en Barcelona, a una distancia media s de unos 186km. En la imagen de abajo se detalla la zona de los picos, marcando el Puig Major cuya altura es de 1,436km, y el pico Puig Roig, con una altura de 1,003km

Conociendo la altura de estos dos picos, una regla de tres nos permite estimar que el horizonte, la línea a partir de la que empezamos a ver la sierra (marcada como «nivel del mar» en la foto), está a unos 640m. Lo que vamos a hacer ahora es mostrar que nuestros cálculos aproximan muy bien estos datos, y por lo tanto explican lo que se ve en esta imagen.

Volvemos al pizarrón. El esquema muestra, de perfil, la posición del Observatorio Fabra y Mallorca sobre la superficie de la Tierra. La línea punteada en verde pasa inmediatamente por encima del horizonte, y marca el límite inferior de lo que podemos ver: Si miramos más arriba vemos el perfil montañoso, y si miramos más abajo vemos solo agua. La distancia s1 es la distancia al horizonte visto desde el Fabra a una altura h1=0.415km, que podemos calcular con nuestra ecuación. La distancia s2 es la distancia desde el horizonte hasta la la sierra, y como la distancia total es 186km, podemos calcularla a partir de s1. La altura h2 marca el punto a partir del cual empezamos a ver Mallorca, asomándose desde atrás de la curvatura. Esta altura es lo que queremos determinar, y podemos hacerlo invirtiendo nuestra ecuación para encontrar a h2 como función de s2, y reemplazando s2=s-s1

En la figura se muestra la ecuación para determinar h2, sabiendo que el radio efectivo de la Tierra (corregido para tener en cuenta la refracción) es de 8500km y que la altura del Fabra es de 0.415km. El resultado es h2=0.613km, que comparado con los 0.64km que estimamos de la foto nos da un error relativo del 4%. Si tenemos en cuenta que esos 0.64km ya tienen un error de al menos un 3% (+/- un píxel), y que el cálculo considera una atmósfera muy simplificada y con refracción estándar, el resultado es bastante bueno. Es decir, en la foto se ve lo que la geometría y la física dicen que debería verse.

Llegado este punto, solamente queda una cosa para decir: IT WORKS, BITCHES!

Homero y el mago de Oz

Blog, sé que digo esto cada siglo pero… Prometo no volver a dejarte.

Es sabido por todos (y si no lo saben hay algo muy mal con uds.) que, en el capítulo 10 de la quinta temporada de Los Simpson, Homero encuentra en el inodoro los anteojos «extraviados» por Henry Kissinger, que por alguna razón andaba por la planta de alegría nuclear de Springfield.

En el momento en el que encuentra las gafas, se lleva el dedo a la sien y dice

«La suma de las raíces cuadradas de dos lados cualquiera de un triángulo isóceles es igual a la raíz cuadrada del lado restante»

Desde una de las puertas de atrás alguien, aparentemente con mayor urgencia por corregir a otros que por continuar haciendo del  número dos, responde «Eso es un triángulo rectángulo, idiota» (en el doblaje latino, vaya uno a saber por qué, dicen equilátero). La corrección viene a cuento, como cualquiera se imagina, porque lo enunciado suena bastante al Teorema de Pitágoras, cuya demostración ya revisé antes:

«La suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de su hipotenusa».

Ahora ud. estará diciendo: «Eso ya lo sabíamos, no me estás contando nada nuevo«. ¡Pues qué actitud, joven! Y se equivoca. Porque siempre hay un tocapelotas quisquilloso por ahí que podría decir

 

«A lo mejor Homero hablaba de otro resultado, y no se equivoca. Podría ser cierto lo que él dice aunque no sea el teorema de Pitágoras«.

 

Lo que vengo a ofreceros entonces es una respuesta para ese que objeta solamente por molestar, y eventualmente algún dato desconocido. Así que empecemos con lo que dice Homero. Tomemos un triángulo isósceles como el del dibujo (mi esfuerzo compensa mi falta de talento):

Para «dos lados cualquiera» hay solo dos opciones: si tomamos    y  , debe valer entonces

Y sí, en el límite en el que la base desaparece es cierto, pero ya no tenemos un triángulo. Así que lo de «dos lados cualquiera» ya vemos que no.

La otra posibilidad es tomar    y  . En ese caso será  , y entonces  , que tendrá tres líneas pero sigue sin ser un triángulo. Así que de nuevo no.

A lo mejor el problema es que es isósceles… Bueno, veamos si podemos dar con un triángulo    para el que el enunciado sea correcto. Lo que debe valer es, para cualquier asignación de nombres  ,

,

o sea

,

Lo que quiere decir que el lado    debe ser más grande que la suma de los otros dos lados, lo que es imposible para cualquier asignación de etiquetas sin importar cómo es el triángulo, porque si    y    entonces  , con lo que  . Todavía peor, no es cierto siquiera para una elección particular de etiquetas, porque la condición    contradice la desigualdad triangular, que sabemos que sí vale. De manera que no hay triángulo que verifique el enunciado, por lo que Homero está equivocado, y de paso también el que deja de cagar para corregirlo.

¿Cometieron los guionistas de Los Simpson un error? No. Cualquiera puede equivocarse, obviamente, pero los que escribieron el guión saben lo suficiente de matemática como para no cometer nunca un error así. Homero en realidad cita al espantapájaros de la película El mago de Oz (1939):

De manera que la pifia fue en la pelicula, y los guionistas de Los Simpson cuelan un chiste citando el error de esta escena. Pero ya que estamos, déjenme divagar un rato: Si descartamos un error de los guionistas de los Simpson. ¿Podría descartarse también un error de los creadores de la película? Después de todo es geometría elemental. Es raro que nadie, entre todos los que leyeron el libreto, haya notado el equívoco. Pero si es intencionado ¿Por qué pondrían eso en el diálogo?

Si realmente todo era un sueño de Dorothy, entonces los personajes son simples creaciones de su mente. Lo que dice el espantapájaros entonces podría ser nada más un indicador de que Dorothy no tiene ni idea de geometría. Suena razonable, aunque demasiado sutil. También podría ser que, simplemente, el espantapájaros sea real y no sepa nada de geometría. Después de todo el no-mago de Oz no es más que un charlatán de feria, el hombre detrás de la cortina que al verse descubierto se saca de la manga un par de trucos que le permiten escapar ileso de Oz. Así, lo que le da al espantapájaros no es un cerebro sino un diploma de «Doctor Honorario en Piensología«, que sería más o menos como una especialización en homeopatía. El espantapájaros no es más inteligente ni más sabio, pero ahora que tiene un diploma se siente autorizado para afirmar como verdad incontestable cualquier pavada que se le cruce por la cabeza. Finalmente, y «por completitud», habría que plantear la posibilidad de que el espantapájaros esté en lo correcto, lo que necesariamente implica que la desigualdad triangular no vale. Es dificil de imaginar algo así porque si hablamos de la longitud de los lados de un triángulo, necesariamente estamos hablando de distancias, y la desigualdad triangular (si me equivoco me corrigen, por favor) es inherente a la noción misma de distancia. No obstante, si relajamos un poco esto y usamos una métrica pseudo-euclídea… Pero será para otra entrada.

Yapa: Al comienzo del capítulo 4 de la misma temporada, al que corresponde el diálogo con el que comencé la entrada, la escena de la guardia en la puerta de la mansión Burns alude a la marcha de los Winkies, escena de El mago de Oz.

Entropy Zoo

Encontrado acá.

Una demostración elegante

El teorema de Pitágoras es una de esas cosas que «todo el mundo sabe». Lo que, a lo mejor, no todo el mundo sabe es cómo demostrarlo. Hay varios caminos para alcanzar una demostración, que se pueden leer en el artículo de Wikipedia al respecto. Creo que ninguna de estas demostraciones es particularmente difícil de entender, pero sí se ve que algunas dan más trabajo que otras, siendo la más simple (en mi opinión) la demostración de Bhaskara. Pero existe otro camino para demostrar el teorema (obra de Einstein cuando era chico, según dicen), que no aparece en el artículo de wikipedia y que vale la pena conocer por su simplicidad.

Para la demostración es necesario utilizar un resultado adicional, que si bien no es evidente, tampoco es difícil de ilustrar:

Empecemos con el primer paso de la demostración de Bhaskara. Con un triángulo rectángulo abc y tres copias más del mismo formamos un cuadrado de lado c, la hipotenusa del triángulo.

Ahora, en lugar de seguir con el procedimiento de Bhaskara, miremos el dibujo un momento. Cualquier triángulo cuya hipotenusa sea c puede usarse para formar un cuadrado con el mismo perímetro (4c), pero distintos triángulos van a dar distintas áreas para el cuadrado coloreado en el interior. De hecho, no cuesta mucho ver que el área de este cuadrado interior depende únicamente del ángulo φ entre la hipotenusa c y el cateto menor de abc (puede elegirse el otro también). Y acá aparece un resultado lindo: El área A del triángulo es una fracción del área total del cuadrado de lado c, y esta fracción es función únicamente del ángulo φ. O sea que para cualquier triángulo rectángulo de hipotenusa c puede escribirse su área como: A= c²ƒ(φ).

La demostración:

Miremos ahora el triángulo, y notemos puede descomponerse en otros dos triángulos similares de hipotenusas a y b.

Usando el resultado de arriba podemos escribir las áreas de estos dos triángulos como a²ƒ(φ) y b²ƒ(φ), y como el área del triángulo mayor es igual a la suma de las áreas de estos dos, tenemos que

c²ƒ(φ)=a²ƒ(φ) + b²ƒ(φ)

Dividiendo todo por ƒ(φ) resulta

c² = a² + b²

que es lo que dice el teorema de Pitágoras.

Descomposición espectral

Descomposición espectral de una matriz 😛

Momento angular gatuno

Había pensado en hacer una entrada sobre la caída de los gatos, pero difícilmente pueda lograr una explicación tan buena como de SmarterEveryDay, así que me limito a darle difusión al video 😛

El experimento de Young

No, no voy a explicar de qué va el experimento de Young, las descripciones/explicaciones de este experimento abundan, y las hay muy buenas. Lo que no abunda entre las reproducciones caseras, son ejemplos en los que la fuente entregue luz blanca (incluso hay quien asegura que solamente se puede hacer con luz monocromática), cosa un tanto paradójica ya que el mismo Young lo hizo con luz natural. En este video muestro mi intento ( un poco vago) de recrear el experimento con lo que tengo a mano en casa, y como Young lo hizo.

Bueno, casi. En 1801 Young utilizó un haz de luz natural proveniente de un pequeño agujero en la ventana. El haz se reflejaba en un espejo, dirigido hacia una tarjeta de espesor ligeramente menor al diámetro del haz. Detrás de la tarjeta puso una pantalla, donde observó las franjas de interferencia. A diferencia de Young, en lugar de usar una tarjeta me fabriqué un par de rendijas con un poco de cartón fino, y para hacerme de un haz de luz dejé la persiana entreabierta. Si bien la oscuridad en la habitación está lejos de ser óptima, se llegan a apreciar un par de franjas a los lados del máximo de intensidad.