Efecto Coriolis

El efecto Coriolis es una consecuencia de estudiar el movimiento de los cuerpos desde un sistema de referencia particular. Los sistemas de referencia pueden clasificarse en “inerciales” y “no inerciales”, y la diferencia entre estas clases está en que las leyes de Newton son válidas en la primera pero no en la segunda. En particular, un sistema de referencia que rota respecto a un sistema inercial es no inercial, y es precisamente éste el caso en el que surge el efecto Coriolis. Para aclarar un poco, imaginemos un cañón en reposo en el origen de un sistema de referencia inercial K y un segundo sistema de referencia K’ con el mismo origen, pero rotando respecto al primero sobre una plataforma giratoria con velocidad angular constante ω, tal como se muestra en la figura

fig1

En el instante t=0 el cañón dispara un proyectil. En el sistema de referencia inercial la situación es muy simple: Como no hay acciones externas el proyectil va a mantener su estado de movimiento (esta es la primera ley de Newton), siguiendo una trayectoria recta. En el sistema de referencia en rotación el movimiento es un poquito más complicado pues esta trayectoria recta va a aparecer curva, lo que implica que, para este observador, la bala aparecerá como acelerada. Si este observador utilizara las leyes de Newton se vería obligado a concluir que una fuerza de origen desconocido actúa sobre el proyectil, causando la curvatura en la trayectoria. Esta fuerza es ficticia, puesto que surge de utilizar las leyes de Newton en un sistema de referencia no inercial.

En 1835 el ingeniero Gaspard-Gustave de Coriolis se dedicó a estudiar el movimiento de cuerpos en sistemas de referencia en rotación y encontró que esta fuerza ficticia puede descomponerse en dos contribuciones. La primera es la fuerza centrífuga por todos conocida; esa fuerza que sentimos que nos empuja contra la puerta cuando vamos por una curva en el auto. La otra contribución es hoy conocida como fuerza de Coriolis, pero en su momento él la llamó fuerza centrífuga compuesta, y determinó que depende tanto de la velocidad v de la bala como de la velocidad angular ω entre los sistemas. Esta aceleración de Coriolis es responsable por la curvatura en la trayectoria del proyectil. 

Movimiento relativo a la Tierra

Como la Tierra gira en torno a un eje propio un observador sobre su superficie es un observador no inercial, y por lo tanto está en la situación del observador en rotación discutido más arriba. De manera que al estudiar el movimiento de un cuerpo desde nuestro laboratorio, en reposo respecto a la Tierra, vamos a observar que su trayectoria se ve afectada por la aceleración de Coriolis.

Volvamos al cañón del ejemplo anterior. Supongamos que está sobre la superficie de la Tierra y dispara sus proyectiles en dirección horizontal. Si estamos en reposo respecto al cañón esperaríamos ver que el proyectil se aleja en línea recta hacia adelante con velocidad constante, pero no es el caso. Debido a la rotación de la Tierra vamos a encontrar que, de hecho, la trayectoria se desvía siempre hacia la derecha si estamos en el hemisferio norte, o siempre hacia la izquierda si es que estamos en el hemisferio sur. Podemos entender por qué ésta es la trayectoria del proyectil sin hacer cálculos, si en lugar de quedarnos fijos a la superficie de la Tierra nos imaginamos levitando sobre esta, de manera de percibir su rotación (o sea, si nos cambiamos a un referencial inercial). Además, como la velocidad en cualquier dirección puede descomponerse en una contribución en dirección Norte-Sur más una contribución Este-Oeste, con entender estos dos casos va a ser suficiente.

Movimiento en dirección Norte-Sur

Supongamos que el cañón está en algún punto de latitud λ1 en el hemisferio norte y dispara el proyectil hacia el Norte, como se ve en el dibujo de abajo. Como el cañón está fijo a la superficie de la Tierra vamos a ver que el proyectil tiene no solo velocidad en dirección hacía el polo sino también una componente de velocidad hacia el Este igual a la velocidad con la que vemos moverse a la superficie, debido a la inercia. En otras palabras, vamos a ver que además de ir hacia el Norte el proyectil sigue rotando con la Tierra. Para saber qué trayectoria va a describir el proyectil podemos considerar su momento angular. Lo importante para nosotros sobre esta cantidad es que implica que el producto entre la velocidad de rotación ω del proyectil y su distancia al eje de la Tierra r, debe mantenerse constante. Ahora bien, como la distancia desde la superficie al eje de la Tierra disminuye al aumentar la latitud, como se aprecia en el dibujo, en su camino en dirección Norte el proyectil va a ir acercándose más y más al eje, lo que implica que la velocidad a la que rota debe aumentar para mantener constante el producto ω.r, y por lo tanto debe adelantar a la Tierra en su movimiento de rotación. Como resultado, vamos a ver que el proyectil no solo se desplaza respecto a la superficie en dirección Norte, sino también en dirección Este. Si por, por el contrario, el disparo fuese hacia el Sur, entonces en su viaje el proyectil se va a alejar del eje, y como resultado su velocidad de rotación va a disminuir, atrasando respecto de la superficie de la Tierra, y aterrizando en un lugar más al Oeste del inicial.

fig2

Un observador situado sobre la superficie, evidentemente, debe observar el mismo desplazamiento del proyectil respecto al suelo. Pero como no puede percibir la rotación de la Tierra no puede hacer el mismo análisis que nosotros. Este observador nota el mismo cambio en la velocidad del proyectil relativa al suelo, y por las leyes de Newton deduce que una fuerza debe estar actuando sobre éste, aunque su origen es desconocido. Ésta es la fuerza de Coriolis.

Movimiento en dirección Este-OestE

Supongamos nuevamente que nuestro cañón está en algún punto con latitud λ. El cañón no está adherido a la superficie, sino que simplemente está apoyado, y se mantiene en reposo respecto al suelo gracias a la acción de la gravedad terrestre.  Por estar describiendo una trayectoria circular el cañón acelera hacia el eje de rotación, pues de otra forma se desplazaría sobre la superficie. La fuerza que le imprime esa aceleración no es otra que la gravedad; podemos pensar que parte del peso del cañón (y el proyectil en su interior) se invierte en modificar constantemente su velocidad para mantenerlo en reposo sobre la superficie, de manera que lo que medimos con una balanza no es el total de la acción de la gravedad, sino la fuerza neta que queda tras confinarlo a estar en el suelo. Pero disparemos ahora el proyectil. Si lo disparamos hacia el Este la velocidad v que le imprime el cañón se va sumar a la velocidad de rotación de la Tierra,  y como ahora la velocidad neta es mayor hace falta invertir una parte mayor del peso para confinarlo sobre la superficie. En dirección vertical la tendencia a alejarse va a ser compensada por el peso (el que medimos con la balanza), pero en la dirección horizontal no hay fuerza para compensar.  La siguiente figura ilustra esta situación.

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El resultado entonces es que el proyectil va a alejarse en dirección Sur si estamos en el hemisferio norte, y en dirección Norte si estamos en el hemisferio sur. La trayectoria, por lo tanto, se desvía hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Si, por el contrario, disparamos hacia el oeste, la velocidad v se va a restar de la velocidad de rotación de la Tierra; la velocidad neta va a ser menor y por lo tanto una parte menor del peso es necesaria para confinar el proyectil a la superficie. Como ahora la gravedad hace más fuerza de la necesaria en dirección hacia el eje de rotación y no hay otra fuerza que la compense en dirección paralela al piso, el resultado es que el proyectil va a acelerar hacia el Norte (hacia la derecha) en el hemisferio norte y hacia el Sur (hacia la izquierda) en el hemisferio sur.

Un observador sobre la superficie de la Tierra va a ver el mismo desplazamiento del proyectil respecto al suelo, pero al no percibir la rotación de la Tierra se ve obligado a concluir que una fuerza de origen desconocido acelera el proyectil apartándolo de una trayectoria que, de otra manera, sería recta. Esta es la aceleración de Coriolis.

Vemos entonces que tanto en la dirección Norte-Sur como en la dirección Este-Oeste la rotación de la Tierra deflecta las trayectorias hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. No solamente eso, sino que es posible demostrar que en los dos casos la aceleración hacia la derecha de la trayectoria es de la misma magnitud: 2ωvSen(λ), donde ω es la velocidad angular de la Tierra, y  v y λ son la velocidad del proyectil respecto a tierra y la latitud, como siempre. Podemos describir entonces al efecto Coriolis como una tendencia de los cuerpos en movimiento a retornar a su posición inicial, que es despreciable cerca del ecuador, y se hace más importante a medida que nos acercamos a los polos. La baja velocidad angular ω de la Tierra (una revolución cada 24 hs) hace que el efecto no sea apreciable a la escala en la que hacemos la mayoría de las cosas. Así, mientras elefecto Coriolis es importante para el disparo de un misil intercontinental, que tiene un gran tiempo de vuelo, es completamente despreciable para alguien practicando tiro en un polígono.

La aceleración de Coriolis tiene gran importancia para la meteorología, pues es un efecto con una fuerte incidencia en el movimiento de grandes masas de aire. La siguiente imagen, tomada por el satélite METEOSAT-7 EN 2011, representa una espectacular manifestación del efecto Coriolis

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En la imagen, prácticamente sobre el mismo meridiano se muestran dos ciclones ocurriendo simultáneamente: Thane, Al norte del Ecuador y sobre la costa India, y Benilde, al sur del Ecuador y sobre el océano Índico. Debido a que están en diferentes hemisferios estos ciclones rotan en sentido contrario. El ciclón Benilde rota en sentido horario mientras Thane rota en sentido antihorario.

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Del horizonte y otros demonios

El horizonte es esa línea que vemos separar al agua del cielo cuando vamos a la playa. Si viviésemos en un plano infinito, el horizonte sería una línea exactamente a la altura de los ojos, conteniendo el punto de fuga donde las cosas parecen desaparecer en la distancia, y las líneas paralelas parecen cortarse debido a la perspectiva. Pero ese no es el caso. Como la Tierra tiene una forma muy aproximadamente esférica, el horizonte no es una línea imaginaria sino que es un lugar sobre la superficie, como muestra la figura siguiente

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Las líneas punteadas son líneas de visión; muestran el camino que recorre la luz hasta nuestros ojos tras reflejarse en las cosas que vemos. Cuando estamos en la playa y miramos al horizonte la línea de visión, marcada con puntos blancos en el dibujo, es la recta tangente a la superficie de la Tierra, y el punto de tangencia marcado es precisamente el centro de la línea que llamamos horizonte (la línea marcada en verde en el dibujo). Si miramos más arriba vamos a ver el cielo, y si miramos más abajo vamos a ver el agua, como muestran las líneas en rojo.

De manera que el horizonte que vemos no está allá en el infinito, sino sobre la superficie, a alguna distancia de nosotros. Pero, ¿A qué distancia? Volvamos a la pizarra:

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El dibujo muestra nuestra posición a una altura h sobre la superficie de la Tierra, representada por el círculo grande de radio R, y dos distancias al lugar donde vemos el horizonte. La distancia d se mide en línea recta desde donde estamos. La distancia s mide cuánto tendríamos que movernos sobre la superficie, si bajamos de donde estamos y viajamos por tierra/agua hasta ese lugar. Como se ve en la figura, averiguar cuánto vale d es fácil; solamente hay que usar el teorema de Pitágoras. Calcular s es un poquito más difícil porque requiere encontrar la ecuación de la recta que une nuestra posición y el punto donde está el horizonte, pero la dificultad es mínima. Si ahora consideramos que el radio de la Tierra es R=6371km, y que cuando estamos parados en la playa la altura h de nuestros ojos ronda los 1.7m, entonces usando las ecuaciones de la figura encontramos que ambas distancias, d y s nos dan aproximadamente el mismo valor de 4.6km de distancia. O sea que, aunque sorprenda un poco, eso que parece tan lejano no está más allá de 5km. Una cosa que se aprecia en el dibujo, y se ve en las formulitas que sacamos para d y s, es que la distancia se hace más grande si h es más grande. Esto dicho de otra manera, es algo que todos intuitivamente sabemos: Si vamos más arriba, podemos ver más lejos.

Hasta acá vamos bien, pero esto es pura geometría. No estamos teniendo en cuenta algo importante: La atmósfera. Vemos el horizonte porque la luz se refleja en la superficie y viaja hasta nosotros. Pero esa luz se propaga en la atmósfera, y como la densidad de ésta es diferente a diferentes alturas esos rayos que dibujamos rectos en realidad deberían ser líneas curvas, debido a la refracción. ¿Cómo tener en cuenta este efecto en los cálculos?

Un tratamiento detallado del problema requeriría de ecuaciones diferenciales y otras sofisticaciones que lo harían muy difícil, pero si suponemos que la densidad (y por lo tanto el índice de refracción) de la atmósfera solo depende de la altura podemos atacarlo usando nada más que geometría. En la figura que sigue se esquematiza la refracción de un rayo en esta atmósfera simplificada

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Ahora bien, en los primeros 2 kilómetros de altura el cambio en el índice de refracción es muy aproximadamente proporcional a la altura, disminuyendo una cantidad de 40×10^-5 por cada kilómetro (estos son valores estándar). Esta proporcionalidad implica que la forma del rayo es de arco de círculo. ¿Con qué radio? Eso es fácil: En la figura concluimos que para que el rayo describa un círculo de radio C, el producto entre C y el valor del índice de refracción debe permanecer constante. Eso quiere decir que la variación del índice con la altura tiene que ser igual al recíproco del radio C, de otra manera el producto no sería constante. Por lo tanto, el radio del rayo será de 25000km en condiciones atmosféricas normales.

Nuestra situación ahora que tomamos en cuenta el efecto de la refracción atmósférica es como la que se muestra del lado izquierdo en la siguiente figura. El rayo que representa nuestra línea de visión es un arco de círculo de 25000km, y el horizonte se encuentra en el punto en el que este arco es tangente a la superficie de la Tierra, que tiene 6371km de radio

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Pero precisamente porque la línea de visión describe un arco de círculo, esta situación es equivalente tener una Tierra sin refracción atmosférica, pero con un radio más grande, de unos 8500km (4/3 del radio real), como se muestra en la derecha de la figura. Y eso es una suerte, porque entonces podemos corregir nuestro cálculo de la distancia al horizonte usando las mismas ecuaciones de antes, pero utilizando estos 8500km para el radio terrestre. Haciendo estas cuentas, encontramos que la distancia al horizonte, corregida por refracción atmosférica es de unos 5.4km. Vemos entonces que el efecto de la refracción es importante, puesto que el valor corregido difiere en un 15% del valor puramente geométrico.

Llegado este punto, estaría bien darle un poco más de utilidad las cuentas que hicimos. Tomemos la siguiente foto:

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Lo que se ve a lo lejos es Mallorca. La foto fue sacada por Alfons Puertas, Meterólogo del Observatorio Fabra, ubicado a unos 415m sobre el nivel del mar, en Barcelona, a una distancia media s de unos 186km. En la imagen de abajo se detalla la zona de los picos, marcando el Puig Major cuya altura es de 1,436km, y el pico Puig Roig, con una altura de 1,003km

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Conociendo la altura de estos dos picos, una regla de tres nos permite estimar que el horizonte, la línea a partir de la que empezamos a ver la sierra (marcada como “nivel del mar” en la foto), está a unos 640m. Lo que vamos a hacer ahora es mostrar que nuestros cálculos aproximan muy bien estos datos, y por lo tanto explican lo que se ve en esta imagen.

Volvemos al pizarrón. El esquema muestra, de perfil, la posición del Observatorio Fabra y Mallorca sobre la superficie de la Tierra. La línea punteada en verde pasa inmediatamente por encima del horizonte, y marca el límite inferior de lo que podemos ver: Si miramos más arriba vemos el perfil montañoso, y si miramos más abajo vemos solo agua. La distancia s1 es la distancia al horizonte visto desde el Fabra a una altura h1=0.415km, que podemos calcular con nuestra ecuación. La distancia s2 es la distancia desde el horizonte hasta la la sierra, y como la distancia total es 186km, podemos calcularla a partir de s1. La altura h2 marca el punto a partir del cual empezamos a ver Mallorca, asomándose desde atrás de la curvatura. Esta altura es lo que queremos determinar, y podemos hacerlo invirtiendo nuestra ecuación para encontrar a h2 como función de s2, y reemplazando s2=s-s1

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En la figura se muestra la ecuación para determinar h2, sabiendo que el radio efectivo de la Tierra (corregido para tener en cuenta la refracción) es de 8500km y que la altura del Fabra es de 0.415km. El resultado es h2=0.613km, que comparado con los 0.64km que estimamos de la foto nos da un error relativo del 4%. Si tenemos en cuenta que esos 0.64km ya tienen un error de al menos un 3% (+/- un píxel), y que el cálculo considera una atmósfera muy simplificada y con refracción estándar, el resultado es bastante bueno. Es decir, en la foto se ve lo que la geometría y la física dicen que debería verse.

Llegado este punto, solamente queda una cosa para decir: IT WORKS, BITCHES!

Homero y el mago de Oz

Blog, sé que digo esto cada siglo pero… Prometo no volver a dejarte.

Es sabido por todos (y si no lo saben hay algo muy mal con uds.) que, en el capítulo 10 de la quinta temporada de Los Simpson, Homero encuentra en el inodoro los anteojos “extraviados” por Henry Kissinger, que por alguna razón andaba por la planta de alegría nuclear de Springfield.

En el momento en el que encuentra las gafas, se lleva el dedo a la sien y dice

“La suma de las raíces cuadradas de dos lados cualquiera de un triángulo isóceles es igual a la raíz cuadrada del lado restante”

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Desde una de las puertas de atrás alguien, aparentemente con mayor urgencia por corregir a otros que por continuar haciendo del  número dos, responde “Eso es un triángulo rectángulo, idiota” (en el doblaje latino, vaya uno a saber por qué, dicen equilátero). La corrección viene a cuento, como cualquiera se imagina, porque lo enunciado suena bastante al Teorema de Pitágoras, cuya demostración ya revisé antes:

“La suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de su hipotenusa”.

Ahora ud. estará diciendo: “Eso ya lo sabíamos, no me estás contando nada nuevo“. ¡Pues qué actitud, joven! Y se equivoca. Porque siempre hay un tocapelotas quisquilloso por ahí que podría decir

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A lo mejor Homero hablaba de otro resultado, y no se equivoca. Podría ser cierto lo que él dice aunque no sea el teorema de Pitágoras“.

 

Lo que vengo a ofreceros entonces es una respuesta para ese que objeta solamente por molestar, y eventualmente algún dato desconocido. Así que empecemos con lo que dice Homero. Tomemos un triángulo isósceles como el del dibujo (mi esfuerzo compensa mi falta de talento):

triang1

Para “dos lados cualquiera” hay solo dos opciones: si tomamos  b  y  c, debe valer entonces

\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{c}\rightarrow\sqrt{b}=0

Y sí, en el límite en el que la base desaparece es cierto, pero ya no tenemos un triángulo. Así que lo de “dos lados cualquiera” ya vemos que no.

triang2

La otra posibilidad es tomar  c  y  c. En ese caso será  \sqrt{c}+\sqrt{c}=\sqrt{b}, y entonces  b=4c, que tendrá tres líneas pero sigue sin ser un triángulo. Así que de nuevo no.

A lo mejor el problema es que es isósceles… Bueno, veamos si podemos dar con un triángulo  a,b,c  para el que el enunciado sea correcto. Lo que debe valer es, para cualquier asignación de nombres  a,b,c ,

\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{c} ,

o sea

a+b+2\sqrt{a}\sqrt{b}=c ,

Lo que quiere decir que el lado  c  debe ser más grande que la suma de los otros dos lados, lo que es imposible para cualquier asignación de etiquetas sin importar cómo es el triángulo, porque si  a+b<c  y  a+c<b  entonces  b-c<c-b\rightarrow b<c, con lo que  b<a+c. Todavía peor, no es cierto siquiera para una elección particular de etiquetas, porque la condición  a+b<c  contradice la desigualdad triangular, que sabemos que sí vale. De manera que no hay triángulo que verifique el enunciado, por lo que Homero está equivocado, y de paso también el que deja de cagar para corregirlo.

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¿Cometieron los guionistas de Los Simpson un error? No. Cualquiera puede equivocarse, obviamente, pero los que escribieron el guión saben lo suficiente de matemática como para no cometer nunca un error así. Homero en realidad cita al espantapájaros de la película El mago de Oz (1939):

De manera que la pifia fue en la pelicula, y los guionistas de Los Simpson cuelan un chiste citando el error de esta escena. Pero ya que estamos, déjenme divagar un rato: Si descartamos un error de los guionistas de los Simpson. ¿Podría descartarse también un error de los creadores de la película? Después de todo es geometría elemental. Es raro que nadie, entre todos los que leyeron el libreto, haya notado el equívoco. Pero si es intencionado ¿Por qué pondrían eso en el diálogo?

Si realmente todo era un sueño de Dorothy, entonces los personajes son simples creaciones de su mente. Lo que dice el espantapájaros entonces podría ser nada más un indicador de que Dorothy no tiene ni idea de geometría. Suena razonable, aunque demasiado sutil. También podría ser que, simplemente, el espantapájaros sea real y no sepa nada de geometría. Después de todo el no-mago de Oz no es más que un charlatán de feria, el hombre detrás de la cortina que al verse descubierto se saca de la manga un par de trucos que le permiten escapar ileso de Oz. Así, lo que le da al espantapájaros no es un cerebro sino un diploma de “Doctor Honorario en Piensología“, que sería más o menos como una especialización en homeopatía. El espantapájaros no es más inteligente ni más sabio, pero ahora que tiene un diploma se siente autorizado para afirmar como verdad incontestable cualquier pavada que se le cruce por la cabeza. Finalmente, y “por completitud”, habría que plantear la posibilidad de que el espantapájaros esté en lo correcto, lo que necesariamente implica que la desigualdad triangular no vale. Es dificil de imaginar algo así porque si hablamos de la longitud de los lados de un triángulo, necesariamente estamos hablando de distancias, y la desigualdad triangular (si me equivoco me corrigen, por favor) es inherente a la noción misma de distancia. No obstante, si relajamos un poco esto y usamos una métrica pseudo-euclídea… Pero será para otra entrada.

Yapa: Al comienzo del capítulo 4 de la misma temporada, al que corresponde el diálogo con el que comencé la entrada, la escena de la guardia en la puerta de la mansión Burns alude a la marcha de los Winkies, escena de El mago de Oz.

Una demostración elegante

El teorema de Pitágoras es una de esas cosas que “todo el mundo sabe”. Lo que, a lo mejor, no todo el mundo sabe es cómo demostrarlo. Hay varios caminos para alcanzar una demostración, que se pueden leer en el artículo de Wikipedia al respecto. Creo que ninguna de estas demostraciones es particularmente difícil de entender, pero sí se ve que algunas dan más trabajo que otras, siendo la más simple (en mi opinión) la demostración de Bhaskara. Pero existe otro camino para demostrar el teorema (obra de Einstein cuando era chico, según dicen), que no aparece en el artículo de wikipedia y que vale la pena conocer por su simplicidad.

Para la demostración es necesario utilizar un resultado adicional, que si bien no es evidente, tampoco es difícil de ilustrar:

Empecemos con el primer paso de la demostración de Bhaskara. Con un triángulo rectángulo abc y tres copias más del mismo formamos un cuadrado de lado c, la hipotenusa del triángulo.

02-bhaskara

Ahora, en lugar de seguir con el procedimiento de Bhaskara, miremos el dibujo un momento. Cualquier triángulo cuya hipotenusa sea c puede usarse para formar un cuadrado con el mismo perímetro (4c), pero distintos triángulos van a dar distintas áreas para el cuadrado coloreado en el interior. De hecho, no cuesta mucho ver que el área de este cuadrado interior depende únicamente del ángulo φ entre la hipotenusa c y el cateto menor de abc (puede elegirse el otro también). Y acá aparece un resultado lindo: El área A del triángulo es una fracción del área total del cuadrado de lado c, y esta fracción es función únicamente del ángulo φ. O sea que para cualquier triángulo rectángulo de hipotenusa c puede escribirse su área como: Ac2ƒ(φ).

La demostración:

Miremos ahora el triángulo, y notemos puede descomponerse en otros dos triángulos similares de hipotenusas a y b.

triangulo

Usando el resultado de arriba podemos escribir las áreas de estos dos triángulos como a2ƒ(φ) y b2ƒ(φ), y como el área del triángulo mayor es igual a la suma de las áreas de estos dos, tenemos que

c2ƒ(φ)=a2ƒ(φ) + b2ƒ(φ)

Dividiendo todo por ƒ(φ) resulta

ca2 + b2

que es lo que dice el teorema de Pitágoras.

El experimento de Young

No, no voy a explicar de qué va el experimento de Young, las descripciones/explicaciones de este experimento abundan, y las hay muy buenas. Lo que no abunda entre las reproducciones caseras, son ejemplos en los que la fuente entregue luz blanca (incluso hay quien asegura que solamente se puede hacer con luz monocromática), cosa un tanto paradójica ya que el mismo Young lo hizo con luz natural. En este video muestro mi intento ( un poco vago) de recrear el experimento con lo que tengo a mano en casa, y como Young lo hizo.

young

Bueno, casi. En 1801 Young utilizó un haz de luz natural proveniente de un pequeño agujero en la ventana. El haz se reflejaba en un espejo, dirigido hacia una tarjeta de espesor ligeramente menor al diámetro del haz. Detrás de la tarjeta puso una pantalla, donde observó las franjas de interferencia. A diferencia de Young, en lugar de usar una tarjeta me fabriqué un par de rendijas con un poco de cartón fino, y para hacerme de un haz de luz dejé la persiana entreabierta. Si bien la oscuridad en la habitación está lejos de ser óptima, se llegan a apreciar un par de franjas a los lados del máximo de intensidad.

Misconceptions

Hoy leí Osmosis Confusion: 60 Years and counting, una entrada publicada en uno de los blogs de Scientific American, que trata sobre una explicación incorrecta para el fenómeno de la ósmosis, al parecer, particularmente difícil de erradicar. Sinceramente, no recuerdo haber estudiado a la ósmosis como un fenómeno difusivo. De hecho, si bien conocía el fenómeno, hasta hoy su explicación era una más entre las tantas cosas que ignoro. Todo esto viene a cuento porque la lectura me hizo recordar algunas explicaciones que en su momento creí entender, y tiempo después descubrí erróneas.  Acá van:

Sustentación en perfiles alares

En la escuela tuve “aerodinámica”. Ahí aprendí que la sustentación en los perfiles alares tiene lugar porque las moléculas de aire, cercanas  al llegar al borde de ataque, deben reencontrarse al pasar el borde de fuga. Al ser el recorrido por el extradós más largo que el correspondiente al intradós, necesariamente la velocidad del aire por encima del perfil ha de ser mayor que la velocidad debajo del mismo. Invocando entonces el principio de Bernoulli, encontramos que la presión en el intradós es mayor a la presión en el extradós, y así aparece una fuerza neta hacia arriba sobre el perfil. Esa fuerza sería la sustentación.

bernoulli

Bueno, resulta que esto está mal. No es cierto que moléculas cercanas en la zona del borde de ataque tengan que seguir siendo cercanas al pasar por el borde de fuga (simplemente no tienen por qué serlo), y de hecho no sucede. Es claro entonces que tampoco es necesario que la distancia a recorrer en el extradós sea mayor que en el intradós. ¿Cómo se produce entonces la sustentación?

Más que la forma del perfil, la responsabilidad por la sustentación recae sobre el ángulo de ataque.

En el .gif de arriba (Wikipedia) el perfil tiene un ángulo de ataque de 8º. Lo primero a notar es que las partículas que llegan juntas al borde de ataque no se encuentran en el borde de fuga, como supone el argumento basado en el principio de Bernoulli. Lo siguiente es la dirección del flujo: Los diferentes colores representan diferentes líneas de corriente. A simple vista se ve que el fluido, que llega con velocidad horizontal al borde de ataque, sale deflectado hacia abajo en el borde de fuga, es decir, la circulación alrededor del perfil tiene como consecuencia una variación en el momento del fluido. Por la segunda ley de Newton, se deduce que el perfil ejerce una fuerza hacia abajo sobre el fluido, y por la tercera ley de Newton, el fluido ejerce sobre el perfil una fuerza de igual intensidad, en sentido contrario. Esta fuerza, es la sustentación.

Carácter adiabático de la propagación de ondas de presión

Este ejemplo fue el primero que se me vino a la cabeza cuando leí la nota en Scientific American, ya que implica un fenómeno difusivo. Cuando estudié ondas sonoras en uno de los cursos de física general, acepté como argumento válido el que la propagación de ondas sonoras en un gas es un proceso adiabático, porque la frecuencia de la variación local en la presión y temperatura del aire es demasiado rápida como para que tenga lugar una transferencia de calor apreciable. Esta vez no me lo contaron, sino que lo leí de un libro, probablemente una edición vieja del Resnick.

No es obvio que el argumento esté mal, y de hecho hasta es intuitivo. En las zonas de máxima presión la temperatura es más alta, por lo que es esperable que tenga lugar una transferencia de calor hacia la zona de menor presión. Pero para que la transferencia suceda, el calor debe propagarse a una distancia de media longitud de onda (λ) en un tiempo menor a la mitad del período. No cuesta mucho convencerse de que a altas frecuencias la transferencia de calor no puede tener lugar por “falta de tiempo”… y sin embargo esta justificación es incorrecta.

La falla está en que nunca se dijo cómo es que la transferencia de calor se produce. A temperaturas normales la transferencia de calor es esencialmente debida a la conducción, por lo que el tiempo requerido para la transferencia de calor va como el cuadrado de la distancia. Así, si bien el tiempo disponible para que la transferencia de calor tenga lugar decrece al aumentar la frecuencia, la longitud de onda decrece más rápido, por lo que aumentar la frecuencia no nos acerca al régimen adiabático, sino que nos aleja.

La explicación correcta es exactamente la contraria: el proceso es adiabático porque los cambios en la presión, y por lo tanto en la temperatura, son tan lentos que no es posible una transferencia de calor apreciable.

El punte de Tacoma Narrows

Esto no me acuerdo de dónde lo saqué, probablemente lo haya visto en la tele. Para contar por qué la explicación más difundida es incorrecta, este video de minutephysics (con mención al caso de las “hamacas de Firmat”).

Seguro hay varias otras cosas que creo entender, y resultan estar mal. Ya me voy a enterar.