Del horizonte y otros demonios

El horizonte es esa línea que vemos separar al agua del cielo cuando vamos a la playa. Si viviésemos en un plano infinito, el horizonte sería una línea exactamente a la altura de los ojos, conteniendo el punto de fuga donde las cosas parecen desaparecer en la distancia, y las líneas paralelas parecen cortarse debido a la perspectiva. Pero ese no es el caso. Como la Tierra tiene una forma muy aproximadamente esférica, el horizonte no es una línea imaginaria sino que es un lugar sobre la superficie, como muestra la figura siguiente

fig1

Las líneas punteadas son líneas de visión; muestran el camino que recorre la luz hasta nuestros ojos tras reflejarse en las cosas que vemos. Cuando estamos en la playa y miramos al horizonte la línea de visión, marcada con puntos blancos en el dibujo, es la recta tangente a la superficie de la Tierra, y el punto de tangencia marcado es precisamente el centro de la línea que llamamos horizonte (la línea marcada en verde en el dibujo). Si miramos más arriba vamos a ver el cielo, y si miramos más abajo vamos a ver el agua, como muestran las líneas en rojo.

De manera que el horizonte que vemos no está allá en el infinito, sino sobre la superficie, a alguna distancia de nosotros. Pero, ¿A qué distancia? Volvamos a la pizarra:

fig2

El dibujo muestra nuestra posición a una altura h sobre la superficie de la Tierra, representada por el círculo grande de radio R, y dos distancias al lugar donde vemos el horizonte. La distancia d se mide en línea recta desde donde estamos. La distancia s mide cuánto tendríamos que movernos sobre la superficie, si bajamos de donde estamos y viajamos por tierra/agua hasta ese lugar. Como se ve en la figura, averiguar cuánto vale d es fácil; solamente hay que usar el teorema de Pitágoras. Calcular s es un poquito más difícil porque requiere encontrar la ecuación de la recta que une nuestra posición y el punto donde está el horizonte, pero la dificultad es mínima. Si ahora consideramos que el radio de la Tierra es R=6371km, y que cuando estamos parados en la playa la altura h de nuestros ojos ronda los 1.7m, entonces usando las ecuaciones de la figura encontramos que ambas distancias, d y s nos dan aproximadamente el mismo valor de 4.6km de distancia. O sea que, aunque sorprenda un poco, eso que parece tan lejano no está más allá de 5km. Una cosa que se aprecia en el dibujo, y se ve en las formulitas que sacamos para d y s, es que la distancia se hace más grande si h es más grande. Esto dicho de otra manera, es algo que todos intuitivamente sabemos: Si vamos más arriba, podemos ver más lejos.

Hasta acá vamos bien, pero esto es pura geometría. No estamos teniendo en cuenta algo importante: La atmósfera. Vemos el horizonte porque la luz se refleja en la superficie y viaja hasta nosotros. Pero esa luz se propaga en la atmósfera, y como la densidad de ésta es diferente a diferentes alturas esos rayos que dibujamos rectos en realidad deberían ser líneas curvas, debido a la refracción. ¿Cómo tener en cuenta este efecto en los cálculos?

Un tratamiento detallado del problema requeriría de ecuaciones diferenciales y otras sofisticaciones que lo harían muy difícil, pero si suponemos que la densidad (y por lo tanto el índice de refracción) de la atmósfera solo depende de la altura podemos atacarlo usando nada más que geometría. En la figura que sigue se esquematiza la refracción de un rayo en esta atmósfera simplificada

fig3

Ahora bien, en los primeros 2 kilómetros de altura el cambio en el índice de refracción es muy aproximadamente proporcional a la altura, disminuyendo una cantidad de 40×10^-5 por cada kilómetro (estos son valores estándar). Esta proporcionalidad implica que la forma del rayo es de arco de círculo. ¿Con qué radio? Eso es fácil: En la figura concluimos que para que el rayo describa un círculo de radio C, el producto entre C y el valor del índice de refracción debe permanecer constante. Eso quiere decir que la variación del índice con la altura tiene que ser igual al recíproco del radio C, de otra manera el producto no sería constante. Por lo tanto, el radio del rayo será de 25000km en condiciones atmosféricas normales.

Nuestra situación ahora que tomamos en cuenta el efecto de la refracción atmósférica es como la que se muestra del lado izquierdo en la siguiente figura. El rayo que representa nuestra línea de visión es un arco de círculo de 25000km, y el horizonte se encuentra en el punto en el que este arco es tangente a la superficie de la Tierra, que tiene 6371km de radio

fig4

Pero precisamente porque la línea de visión describe un arco de círculo, esta situación es equivalente tener una Tierra sin refracción atmosférica, pero con un radio más grande, de unos 8500km (4/3 del radio real), como se muestra en la derecha de la figura. Y eso es una suerte, porque entonces podemos corregir nuestro cálculo de la distancia al horizonte usando las mismas ecuaciones de antes, pero utilizando estos 8500km para el radio terrestre. Haciendo estas cuentas, encontramos que la distancia al horizonte, corregida por refracción atmosférica es de unos 5.4km. Vemos entonces que el efecto de la refracción es importante, puesto que el valor corregido difiere en un 15% del valor puramente geométrico.

Llegado este punto, estaría bien darle un poco más de utilidad las cuentas que hicimos. Tomemos la siguiente foto:

1527095_565360083557308_951327436_n

Lo que se ve a lo lejos es Mallorca. La foto fue sacada por Alfons Puertas, Meterólogo del Observatorio Fabra, ubicado a unos 415m sobre el nivel del mar, en Barcelona, a una distancia media s de unos 186km. En la imagen de abajo se detalla la zona de los picos, marcando el Puig Major cuya altura es de 1,436km, y el pico Puig Roig, con una altura de 1,003km

detalle_mallorca

Conociendo la altura de estos dos picos, una regla de tres nos permite estimar que el horizonte, la línea a partir de la que empezamos a ver la sierra (marcada como “nivel del mar” en la foto), está a unos 640m. Lo que vamos a hacer ahora es mostrar que nuestros cálculos aproximan muy bien estos datos, y por lo tanto explican lo que se ve en esta imagen.

Volvemos al pizarrón. El esquema muestra, de perfil, la posición del Observatorio Fabra y Mallorca sobre la superficie de la Tierra. La línea punteada en verde pasa inmediatamente por encima del horizonte, y marca el límite inferior de lo que podemos ver: Si miramos más arriba vemos el perfil montañoso, y si miramos más abajo vemos solo agua. La distancia s1 es la distancia al horizonte visto desde el Fabra a una altura h1=0.415km, que podemos calcular con nuestra ecuación. La distancia s2 es la distancia desde el horizonte hasta la la sierra, y como la distancia total es 186km, podemos calcularla a partir de s1. La altura h2 marca el punto a partir del cual empezamos a ver Mallorca, asomándose desde atrás de la curvatura. Esta altura es lo que queremos determinar, y podemos hacerlo invirtiendo nuestra ecuación para encontrar a h2 como función de s2, y reemplazando s2=s-s1

fig5

En la figura se muestra la ecuación para determinar h2, sabiendo que el radio efectivo de la Tierra (corregido para tener en cuenta la refracción) es de 8500km y que la altura del Fabra es de 0.415km. El resultado es h2=0.613km, que comparado con los 0.64km que estimamos de la foto nos da un error relativo del 4%. Si tenemos en cuenta que esos 0.64km ya tienen un error de al menos un 3% (+/- un píxel), y que el cálculo considera una atmósfera muy simplificada y con refracción estándar, el resultado es bastante bueno. Es decir, en la foto se ve lo que la geometría y la física dicen que debería verse.

Llegado este punto, solamente queda una cosa para decir: IT WORKS, BITCHES!

Anuncios

2 pensamientos en “Del horizonte y otros demonios

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s