Álgebra lineal: Base y dimensión

En las entradas anteriores nos ocupamos de identificar espacios vectoriales y subespacios vectoriales. Vamos a ocuparnos ahora, muy brevemente, de los conceptos de base y dimensión. Pero antes es necesario hablar de combinaciones lineales.

Combinación lineal

Supongamos un espacio vectorial {\{V,\oplus,K,+,\times,\star\}} y un subconjunto de {n} vectores vectores {B=\{\bf v_1,...,\bf v_n\}}. Una combinación lineal de los elementos de {B} es cualquier suma de productos de escalares arbitrarios de {K} por los vectores de {B}. Es decir, dados {B} y escalares arbitrarios en {K}, una combinación lineal de los vectores de {B} se escribe como:

\sum_i \alpha_i \bf v_i, \,\,\alpha_i\in K,

donde suprimimos el símbolo \star del producto de vectores por escalares (siempre que el contexto lo implique vamos a hacer esto, al igual que reemplazar el símbolo \oplus por +). Como por definición el producto \star tiene por imagen  a V, una combinación lineal de vectores de V es un vector en V. En particular, dado un subconjunto finito {B=\{\bf v_1,...,\bf v_n\}} en V, decimos que un vector \bf u de V es una combinación lineal de los vectores en B si y sólo si existen escalares en K tales que

\bf u=\sum_i \alpha_i \bf v_i, \,\,\alpha_i\in K,

Tomemos ahora el vector nulo \bf 0 en V. Es claro que siempre podemos escribirlo como combinación lineal de cualquier subconjunto B, pues en ese caso la ecuación de arriba siempre admite una solución trivial, a saber, que todos los coeficientes \alpha sean simultáneamente cero. Si esta es la única solución, entonces se dice que el conjunto B es linealmente independiente (L.I.). Caso contrario, el conjunto es linealmente dependiente (L.D.).

Ejemplo: El conjunto B=\{ sen, cos \} está incluido en el espacio de funciones (\mathbb{R}^I,+,\mathbb{R},.), donde I es algún intervalo real. Si queremos escribir al vector nulo como combinación lineal de estas funciones deben existir escalares reales \alpha,\beta tales que

\alpha sen+\beta cos=\bf 0

Ahora, como el vector nulo satisface por definición {\bf 0}(t)=0\forall t, podemos evaluar la ecuación de arriba en t y derivarla. Esto deja el sistema

\begin{pmatrix} sen(t)&cos(t) \\ cos(t)&-sen(t) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},

Que tiene como única solución \alpha=\beta=0, puesto que el determinante de la matriz de coeficientes es -1. Resulta entonces que el conjunto \{sen,cos\} es L.I.

Generadores, base y dimensión

Podemos pensar ahora en el conjunto S de todas las combinaciones lineales de BV. Es fácil ver que este conjunto es un espacio vectorial: Primero, es evidente que se trata de un subconjunto de V, pues al ser V un espacio vectorial, cualquier combinación lineal de un número finito de sus elementos pertenece a éste (V es cerrado para la suma de vectores y el producto por escalar). Supongamos ahora que tenemos 2 vectores u1 y u2 en el conjunto, y construyamos una combinación lineal c de estos:

\bf c=\gamma_1 \bf u_1+\gamma_2 \bf u_2\\c=\gamma_1(\sum_i\alpha_{i1}\bf v_i)+\gamma_2(\sum_i\alpha_{i2}\bf v_i)\\ c=\sum_i(\gamma_1\alpha_{i1}+\gamma_2\alpha_{i,2})\bf v_i

Vemos que c es también un vector de S, por lo que S es cerrado para la suma de vectores y el producto por escalares. Luego, por definición, S es un subespacio de V. Decimos entonces que el espacio S está generado por los vectores de B, o bien que B es un conjunto de generadores de S. Si, además de generar SB es un conjunto de vectores L.I., entonces decimos que B es una base de S.

Ejemplo: Una base para el espacio (K^n,+,K,.) (K es un cuerpo) está dada por los vectores

\begin{matrix} \bf e_1=(1,0,0\cdots 0)\\ {\bf e_2=(0,1,0\cdots 0)}\\ \vdots \\ {\bf e_n=(0,0,0\cdots 1)}\end{matrix}

Es evidente que cualquier n-upla de coeficientes en K puede escribirse como combinación lineal de estos vectores, por lo que el conjunto genera a (K^n,+,K,.), y es muy fácil también verificar que es un conjunto linealmente independiente. Luego es una base.

Finalmente, definimos la dimensión de un espacio vectorial como el número de elementos que hay en una base cualquiera del mismo. Si volvemos al espacio del ejemplo anterior, vemos que el número de vectores en la base dada es precisamente n, por lo que (K^n,+,K,.) es un espacio de dimensión n.

Para ir terminando, un resultado útil: Sea V un espacio vectorial de dimensión n, y B un conjunto de n vectores. Si B es L.I., entonces B es una base de V:

En efecto, supongamos que B no genera a V. Luego genera algún subespacio de V. Podemos entonces armar una base para V completando a B con vectores L.I. adicionales hasta generar V completamente. Este nuevo conjunto será L.I. y generador por construcción, o sea, una base de V. Pero como B tiene n elementos esta base debe tener m>n elementos, por lo que la dimensión de V deberá ser m, lo que es absurdo.

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