Principio de relatividad

La teoría de la relatividad es, junto con la mecánica cuántica, uno de los dos pilares de la física moderna. En esta entrada voy intentar hacer un repaso (muy breve) por la génesis de la teoría.

el espacio y tiempo absolutos de la mecánica newtoniana

En su famosa obra Principia [1] Newton presenta sus 3 leyes del movimiento y la ley de gravitación universal, sentando las bases de la mecánica clásica. Es también en Principia donde Newton postula el carácter absoluto del espacio y el tiempo.

Sobre el espacio absoluto y relativo:

El espacio absoluto, por su propia naturaleza y sin relación alguna con nada externo, permanece similar e inmóvil. El espacio relativo es una dimensión o medida movible de los espacios absolutos que nuestros sentidos determinan de acuerdo con su posición con respecto a los cuerpos y que por lo común se toma como espacio inmóvil; tal es la dimensión de un espacio subterráneo, aéreo o celeste, determinada través de su posición con respecto a la Tierra. El espacio absoluto y el relativo son iguales en forma y magnitud, pero no siempre coinciden numéricamente, un espacio cualquiera de nuestro aire, que relativamente a la Tierra y con respecto a la Tierra permanece siempre igual, en un momento dado ocupa una cierta parte del espacio absoluto por el que atraviesa el aire; en otra parte ocupará otra parte distinta del mismo y así entendido su sentido absoluto, irá modificándose continuamente.

Sobre el tiempo absoluto y relativo:

El tiempo absoluto, verdadero y matemático, en sí mismo por su propia naturaleza, fluye de una manera ecuable y sin relación alguna con nada externo y, se conoce también con el nombre de duración; el tiempo relativo, aparente y común es una medida sensible y externa (ya sea exacta e inecuable) de la duración por medio del movimiento, y se utiliza corrientemente en lugar del tiempo verdadero; ejemplo de ello son la hora, el día, el mes el año.

Puede no resultar obvio, pero lo que estos postulados [2] implican es que los intervalos de tiempo y espacio entre dos eventos dados son los mismos para todos los observadores en movimiento relativo, y por lo tanto, que eventos que son simultáneos para un dado observador también han de serlo para todos los demás. Estas consecuencias están en acuerdo con nuestra experiencia cotidiana: Nuestros relojes no parecen adelantar o atrasar por el solo hecho de estar viajando en auto, por ejemplo, ni tampoco observamos que la graduación de una regla cambie mientras la movemos de un lado a otro. No obstante la naturaleza del espacio y el tiempo newtonianos sería cuestionada por físicos y filósofos, hasta ser “abolida” por Einstein en su trabajo de 1905.

El principio de relatividad de Galileo

Por extraño que pueda parecer, uno de los postulados de la teoría de la relatividad de Einstein, conocido como principio de relatividad, se remonta a los trabajos de Galileo Galilei. Basándose en los resultados de sus observaciones,  en 1632 Galileo escribía en su obra Diálogos sobre los dos máximos sistemas del mundo [3]:

Encerraos con un amigo en la cabina principal bajo la cubierta de un barco grande, y llevad con vosotros moscas, mariposas, y otros pequeños animales voladores… colgad una botella que se vacíe gota a gota en un amplio recipiente colocado por debajo de la misma… haced que el barco vaya con la velocidad que queráis, siempre que el movimiento sea uniforme y no haya fluctuaciones en un sentido u otro…. Las gotas caerán… en el recipiente inferior sin desviarse a la popa, aunque el barco haya avanzado mientras las gotas están en el aire… las mariposas y las moscas seguirán su vuelo por igual hacia cada lado, y no sucederá que se concentren en la popa, como si cansaran de seguir el curso del barco…|Galileo Galilei

Lo que Galileo dice es que, mientras el movimiento del barco sea uniforme (es decir, su velocidad respecto a tierra sea constante), los resultados de los experimentos realizados en el barco deberían coincidir con los de aquellos realizados en tierra firme. Supongamos ahora que tenemos un conjunto de “leyes” que nos permiten describir los fenómenos físicos, y predecir resultados de experimentos. Vemos que la observación de Galileo implica que estas leyes deben ser las mimas en Tierra y sobre el barco, puesto que las descripciones y predicciones han de coincidir. Podemos utilizar esta idea para convertir la propuesta de Galileo en un enunciado general: El principio de relatividad.

Las leyes que describen los fenómenos físicos son las mismas para todos los observadores en movimiento relativo uniforme.

Podemos ir todavía un poco más lejos. Dado que las leyes físicas se expresan mediante ecuaciones, el principio de relatividad implica que estas ecuaciones deben ser las mismas para todos los observadores en movimiento relativo uniforme. Veamos como se expresa esto matemáticamente:

Imaginemos dos observadores S y S’ en movimiento relativo con velocidad v, esto es, S’ se mueve respecto a S con velocidad v. Estos observadores miden la posición de un objeto usando coordenadas x y x’ respectivamente. Dado que suponemos tiempo absoluto, una vez sincronizados (S y S’ están en el mismo lugar cuando empiezan a medir el tiempo) los relojes de S y S’ marcan siempre lo mismo, lo que expresamos escribiendo t=t’. ¿Cómo se relacionan las coordenadas x y x’?

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Como se ve en la figura, siempre podemos escribir la distancia del objeto a S (el valor de x) como la suma de la distancia entre S y S’ y la distancia del objeto a S’ (el valor de x’). Además, sabemos que S’ se mueve con velocidad v respecto a S, por lo que en cualquier instante t la distancia de S a S’ es v.t. Podemos escribir entonces

x=x’+v.t ó x’=x-v.t

Esta regla para “pasar” de las coordenadas de S a las de S’ y viceversa se conoce como transformación de coordenadas, y nos permite comparar lo que “ven” distintos observadores en movimiento relativo uniforme. Lo que dice el principio de relatividad, entonces, es que las ecuaciones deben mantener su forma cuando cambiamos de x a x’. La segunda ley de Newton [4], por ejemplo, es la misma para todos los observadores en movimiento relativo uniforme. Es decir, si vale F=m.a para el observador S, entonces también vale F’=m.a’ para S’. La mecánica clásica es compatible con el principio de relatividad, es decir, las ecuaciones de movimiento de los sistemas mecánicos son invariantes frente a las transformaciones de Galileo.

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En este punto conviene llamar la atención sobre algo que puede haber pasado inadvertido. Para llevar el principio enunciado por Galileo al ámbito de las ecuaciones tuvimos que establecer las transformaciones de coordenadas (transformaciones de Galileo, de ahora en más), y estas dependen del tiempo absoluto postulado por Newton. Si cambiáramos nuestra forma de entender el tiempo y el espacio (como haría Einstein al formular su teoría) estas transformaciones serían diferentes, y las ecuaciones que describen las leyes físicas deberían adaptarse a estas nuevas transformaciones, si se pretende que sean las mismas para todos los observadores en movimiento relativo uniforme.

electromagnetismo y óptica

Gracias a los experimentos realizados por Young [5] y Fresnel [6], entre otros, durante la primera mitad del siglo XIX los físicos llegaron a convencerse de la naturaleza ondulatoria de la luz. En analogía con las ondas mecánicas, que consisten en vibración de un medio elástico, se propuso un medio para la propagación de las ondas electromagnéticas: El éter luminífero. Este medio debía ser, por fuerza, algo especial. Debía tratarse de un sólido elástico y no dispersivo, de manera que la propagación de la luz pudiese entenderse como el resto de las ondas mecánicas, pero también debía tener la capacidad de penetrar otros medios materiales interactuando con estos en alguna manera, de forma que fuera posible explicar la propagación de la luz en medios como el aire, la luz y el vidrio y  sus respectivos índices de refracción [7]. Más importante aún, dado que el éter debía llenar todo el espacio para hacer posible la propagación de la luz, éste debía estar en reposo respecto al espacio absoluto. Podría decirse que el éter era la materialización del espacio absoluto propuesto por Newton.

En 1873 Maxwell [8] publica su conocida obra,  A treatise on electricity and magnetism, en la que presenta una teoría que unifica los fenómenos eléctricos y magnéticos. Una predicción de esta teoría es la existencia de ondas electromagnéticas, lo que quiere decir que en ausencia de fuentes de carga [9] y corriente [10] la solución de las Ecuaciones de Maxwell [11] lleva a que los campos eléctrico y magnético deben ser solución de una ecuación de ondas [12]. Cuando Maxwell encontró estas soluciones notó que la velocidad a la que deberían propagarse estas ondas electromagnéticas, según la teoría, era muy similar a la velocidad medida para la propagación de la luz, por lo que conjeturó que la luz era un caso especial de onda electromagnética. Esta conjetura fue posteriormente confirmada por los experimentos realizados por Hertz [13]Así la óptica quedaba integrada como parte del electromagnetismo, y el éter luminífero pasó a coincidir con el medio que Maxwell postulara para la propagación de las ondas electromagnéticas. Las consecuencias de esto no son menores: La existencia de las ondas electromagnéticas llevó a proponer la existencia de un medio en el que los campos “viven”, lo que implica que la teoría de Maxwell consiste en un conjunto de leyes que describe los fenómenos electromagnéticos para observadores en reposo respecto a este medio, por lo que el principio de relatividad deja de valer en el reino de los fenómenos electromagnéticos. La identificación de dicho medio con el éter luminífero implica que el sistema de referencia en el que vale la teoría electromagnética está en reposo absoluto.

La teoría de Maxwell fue muy exitosa explicando fenómenos electromagnéticos conocidos, y además proporcionó predicciones que luego fueron confirmadas experimentalmente. Los problemas empezaron cuando los físicos se propusieron conocer cuál era el estado de movimiento de la Tierra respecto al éter. Resolver este problema era de importancia porque, supuesta la existencia del éter, es claro que las ecuaciones de Maxwell permiten conocer los campos eléctrico y magnético en un sistema de referencia en reposo respecto al éter, y para saber qué es lo que ve un observador en movimiento respecto al mismo es necesario conocer su velocidad relativa (de la que dependen las transformaciones de Galileo). Dicho de otra manera: la velocidad de la luz que predice la teoría de Maxwell sería solo la que mediría un observador en reposo respecto al éter, y otros observadores en movimiento relativo medirían otra, tal y como pasa con las ondas mecánicas. Entre los varios intentos de resolver esta cuestión destaca el experimento de Michelson y Morley.

el experimento de michelson y morley

Michelson [14] diseñó un experimento para determinar la velocidad relativa de la Tierra respecto al éter. La idea es relativamente sencilla: Tenemos el éter llenando todo el espacio y la tierra moviéndose a través de este en alguna dirección dada. Podemos imaginarnos que, mediante algún dispositivo, nos es posible generar dos pulsos luminosos que se propaguen en direcciones distintas: Uno de ellos en la dirección del movimiento de la Tierra respecto al éter, y el otro en dirección perpendicular a este.  En un sistema de referencia en reposo respecto del éter los dos pulsos viajarían a la misma velocidad, esos casi 3×10^8 m.s^-1 que predice la teoría de Maxwell. Pero en un sistema en reposo respecto a la Tierra las velocidades serían distintas, debido a que las transformaciones galileanas dicen que las velocidades se suman. Así, el pulso luminoso que se propaga en la dirección normal al movimiento de la Tierra respecto al éter debería propagarse a la misma velocidad que en el éter (dado que la velocidad relativa es nula), pero el otro pulso debería propagarse a una velocidad c’ un poco menor, resultado de la diferencia entre la velocidad medida en el éter y la velocidad relativa entre la Tierra y dicho medio, es decir c’= (3×10^8 – v) m.s^-1. Una medida de la velocidad de estos pulsos permitiría, entonces, conocer la velocidad con la que la Tierra se mueve en el éter.

Como muchas ideas simples, llevar esto a un dispositivo real resultó complicado. ¿Como generar dos pulsos de luz simultáneos, y además medir su velocidad? La solución de Michelson llegó con la construcción de su interferómetro, convirtiendo el problema de los pulsos de luz en un problema de interferencia [15] . Este es un esquema simplificado que muestra como funciona.

mm_esquema

La fuente emite un haz de luz monocromática que al llegar al semiespejo se divide en dos haces perpendiculares. Estos haces se reflejan en espejos diferentes y vuelven hacia el semiespejo para reflejarse nuevamente en dirección hacia una pantalla (representada por un ojo en la figura) en la que se forma un patrón de interferencia, debido a una diferencia de fase entre los dos haces. La idea entonces era la siguiente: Mientras el interferómetro estuviese en reposo respecto al éter, el patrón de interferencia sería siempre el mismo. Si, en cambio, el interferómetro se moviera respecto al éter en dirección paralela a alguno de sus brazos, entonces para un observador en reposo respecto al interferómetro la velocidad de la luz tendría un valor diferente en esa dirección. Debido a este cambio en la velocidad en una sola de las direcciones, la fase relativa de los haces de luz en el semiespejo también cambia, provocando un patrón de interferencia diferente en la pantalla. Hasta acá muy bien, pero hay un problema: El interferómetro está sobre la Tierra, por lo que se puede observar el patrón de interferencia debido a las diferentes velocidades en las dos direcciones de los brazos del interferómetro, pero no hay manera de compararlo con el patrón correspondiente al estado de reposo respecto al éter. La solución a este problema fue medir en una posición, y luego rotar el interferómetro 90º. El desplazamiento en el patrón de interferencia en esta comparación, sería el doble del que se quiere observar.

On_the_Relative_Motion_of_the_Earth_and_the_Luminiferous_Ether_-_Fig_3

Dibujo del interferómetro utilizado por Michelson y Morley en su experimento.

Para el momento en que Michelson, en colaboración con Morley [16] realizó su experimento ya se había descartado la posibilidad de que la Tierra “arrastrara” al éter, como si este fuese un fluido viscoso, por lo que necesariamente debía detectarse una velocidad no nula del planeta respecto al éter. Sin embargo el resultado del experimento fue nulo, es decir, no se detecto movimiento de la Tierra respecto al éter.

¿Qué falló?

La interpretación rápida de los resutados de este experimento sería El desplazamiento observado es nulo, luego la velocidad relativa de la Tierra respecto al éter es nula. Pero esta interpretación ya en ese entonces se sabía imposible. Una posible explicación a este resultado fue provista por Lorentz [17] en 1892 quien introdujo como hipótesis que los cuerpos en movimiento relativo respecto al éter debían contraerse en un factor dependiente de la velocidad de desplazamiento. La hipótesis se introduce ad hoc: Lorentz compensa la variación que debería observarse en la velocidad de la luz con un acortamiento en la longitud del brazo en la dirección de movimiento, de manera que el efecto neto del desplazamiento a través del éter sea nulo.

Si bien la solución propuesta no resulta muy agradable (lo sería si la contracción propuesta pudiese deducirse en lugar de introducirse a la fuerza) la teoría de Lorentz resultó exitosa, puesto que eliminaba las inconsistencias que surgían de los resultados nulos en los experimentos como el de Michelson y Morley, que intentaban medir el desplazamiento respecto al éter.

einstein y una teoría alternativa

El primer artículo de Einstein sobre la teoría de la relatividad fue publicado en 1905, año conocido como annus mirabilis. La siguiente cita es de la introducción del artículo:

Se sabe que cuando la electrodinámica de Maxwell – tal como se suele entender actualmente – se aplica a cuerpos en movimiento, aparecen asimetrías que no parecen estar en correspondencia con los fenómenos observados. Pensemos, por ejemplo, en la interacción electrodinámica entre un imán y un conductor. En este caso, el fenómeno que se observa depende solamente del movimiento relativo entre el conductor y el imán, mientras que de acuerdo a la interpretación común se deben distinguir claramente dos casos muy diferentes, dependiendo de cuál de los dos cuerpos se mueva. Si se mueve el imán mientras que el conductor se encuentra en reposo, al rededor del imán aparece un campo eléctrico con cierto valor para su energía. Este campo eléctrico genera una corriente en el lugar donde se encuentre el conductor. Pero si el imán está en reposo y el conductor se mueve, al rededor del imán no aparece ningún campo eléctrico sino que en el conductor se produce una fuerza electromotriz que en sí no corresponde a ninguna energía pero da lugar a corrientes eléctricas que coinciden en magnitud y dirección con las del primer caso, suponiendo que el movimiento relativo es igual en cada uno de los casos bajo consideración.

Otros ejemplos de esta índole así como los intentos infructuosos para constatar un movimiento de la Tierra con respecto al “medio de propagación de la luz” permiten suponer que no solamente en mecánica sino también en electrodinámica ninguna de las propiedades de los fenómenos corresponde al concepto de reposo absoluto.

Lo que parece molestar a Einstein es que un fenómeno único desde el punto de vista de la mecánica tenga 2 descripciones diferentes en el electromagnetismo. Dicho de otra manera, el principio de relatividad parece ser válido en el ámbito de la mecánica, pero no así en el reino de los fenómenos electromagnéticos.

Ahora bien, esta asimetría, por si misma, no necesariamente constituye un problema. Recordemos que los campos electromagnéticos viven en el éter, y que la teoría desarrollada por Maxwell consiste en un conjunto de leyes que describen los fenómenos electromagnéticos respecto a un observador en reposo respecto al éter, es decir, en reposo absoluto. La asimetría de la que habla Einstein, entonces, no es más que una consecuencia de este hecho. El principio de relatividad deja de valer en el electromagnetismo porque, a diferencia de lo que pasa dentro de la mecánica, los fenómenos electromagnéticos sí distinguen el reposo absoluto. Matemáticamente, además, esto se refleja en el hecho de que las ecuaciones del electromagnetismo no conservan su forma frente a las transformaciones galileanas.

Sin embargo, como deja entrever Einstein en el segundo párrafo citado, esta explicación puede objetarse. Si es cierto que estas asimetrías quedan explicadas por la capacidad del electromagnetismo de distinguir el reposo absoluto: ¿Por qué fallan los experimentos que intentan medir desplazamiento respecto al éter?

Hipótesis

Einstein propone una teoría alternativa partiendo de 2 hipótesis:

1) En todos los sistemas de coordenadas en los que tienen validez las ecuaciones de la mecánica, tienen también validez las mismas leyes de la electrodinámica.

2) La luz puede propagarse en el vacío, y lo hace de manera tal que su velocidad de propagación no depende de la velocidad de la fuente.

En la primer hipótesis extiende el principio de relatividad galileano al electromagnetismo: Todos los observadores en movimiento relativo uniforme describen los fenómenos de la misma manera, es decir, con las mismas ecuaciones. Esto implica que las ecuaciones deben tener una forma invariante frente a transformaciones de coordenadas (covariancia). La hipótesis en 2) sobre la velocidad de la luz es, en realidad, una característica común a todos los fenómenos ondulatorios. Lo novedoso es la idea de que la luz puede propagarse en el vacío, eliminando el éter.

Al sacar al éter del escenario Einstein enfrenta el problema de fondo: La incompatibilidad de las transformaciones de galileo con la teoría electromagnética. En efecto, para que las ecuaciones del electromagnetismo sean compatibles con el principio de relatividad, las transformaciones de coordenadas deben cambiar a otras, que dejen invariantes no solo a las ecuaciones de la mecánica, sino también a las ecuaciones de Maxwell. Esto requerirá el abandono del espacio y el tiempo absolutos de Newton…

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