Álgebra lineal: Espacios vectoriales I

En la entrada anterior comenté que un espacio vectorial es una estructura algebraica, y dediqué la entrada a explicar muy someramente qué cosa es una estructura algebraica. El objetivo en esta entrada es definir qué tipo de estructura es un espacio vectorial, y explicar con un ejemplo simple cómo probar que un objeto dado tiene esta estructura o no.

Definición

En algunos textos, la definición de espacio vectorial consiste en una lista con unos 10 axiomas, en los que en ocasiones se observan abusos de notación no aclarados. A mi entender, la manera más simple de pensar un espacio vectorial es como un par de estructuras vinculadas por una operación binaria (no es que esté diciendo nada nuevo, claro). Voy a ser un poco más preciso: Supongamos que tenemos un grupo abeliano {V, ⊕} (cuyos elementos denominamos vectores), un cuerpo {K, +, ×} (cuyos elementos denominamos escalares), y una ley de composición externa ★:V×K→V. Decimos que el objeto {V, ⊕, K, +, ×, ★} es un espacio vectorial si se verifican las siguientes condiciones para cualesquiera elementos en V y en K.

∀ α, β ∊ K, y ∀ u, v ∊ V:

1. α★(vw)=(αv)⊕(αw). Esto es, la operación ★ , de ahora en más producto de un vector por un escalar, se distribuye en la suma (⊕) de vectores.

2. (α+β)★v=(αv)⊕(βv). En este caso, pedimos al producto ★ que sea distributivo respecto de la suma de escalares. Un detalle que merece atención es el siguiente: A la izquierda del igual, la suma es la de escalares +, mientras que a la derecha, la suma es la de vectores ⊕. El por qué de esto está en la definición del producto entre vectores y escalares, ★:V×K→V, que da como resultado un vector, y no un escalar.

3. (α × β)★v=αβv). Esta propiedad se denomina asociatividad mixta.

4. 1★v=v. Con el símbolo 1 representamos al elemento neutro de K respecto del producto. Si K fuera el conjunto real ℝ, por ejemplo, entonces 1 representaría al número real 1, que es el elemento neutro respecto del producto, ya que todo número real x verifica 1.x=x.

“ℝ2” es un espacio vectorial

Hasta acá la definición. Veamos con un ejemplo cómo identificar si un dado objeto tiene estructura de espacio vectorial. Tomemos el conjunto ℝ, con la suma y producto ordinarios (denotados con + y × respectivamente), y el conjunto de pares ordenados de números reales ℝ2 (cuyos elementos son de la forma (a, b), con a,b ∊ ℝ), con una operación suma definida como (a, b)⊕(a’, b’)=(a+a’, b+b’). Definamos ahora el producto ★:ℝ×ℝ2→ℝ2 de pares por números reales de la siguiente manera: Si x ∊ ℝ y (a,b) ∊ ℝ2, entonces x★(a,b)=(× a× b).

¿Cómo probamos que el objeto {ℝ2, ⊕, ℝ, +, ×, ★} es un espacio vectorial? Usemos la definición. Tenemos que probar que {ℝ, +, ×} es un cuerpo, que {ℝ2, ⊕} es un grupo abeliano, y que ★ verifica las propiedades 1-4.

{ℝ, +, ×} es un cuerpo

Sabemos que la suma de números reales es asociativa, es decir que (x+y)+z=x+(y+z) ∀ x,y,z ∊ ℝ. También existe en ℝ un elemento neutro respecto de +, y es el número 0, ya que 0+x=x ∀ x ∊ ℝ. Además, sabemos que para cualquier elemento x ∊ ℝ podemos encontrar el elemento –x ∊ ℝ tal que x+(-x)=0, es decir, para todo número real podemos encontrar un inverso respecto de la suma. Por último, la suma es una operación conmutativa x+y=y+x ∀ x,y ∊ ℝ.

Por todo esto, podemos asegurar que {ℝ, +} es un grupo abeliano. Sin mucho esfuerzo, podemos ver que lo mismo pasa en el caso de {ℝ-{0}, ×}. Y dado que conocemos la propiedad distributiva de la multiplicación de números reales en la suma, vemos que {ℝ, +, ×} cumple con la definición de cuerpo.

{ℝ2, ⊕} es un grupo abeliano

i) Asociatividad: Supongamos que tenemos tres elementos cualesquiera de ℝ2, x=(x, y), x’=(x’, y’) y x”=(x”, y”). Queremos probar que x⊕(x’x”)=(xx’)⊕x”:

x⊕(x’x”)=

=(x, y)⊕((x’, y’)⊕(x”, y”))

=(x, y)⊕(x’+x”, y’+y”) Por definición de ⊕.

=(x+(x’+x”), y+(y’+y”)) Por definición de ⊕.

=((x+x’)+x”, (y+y’)+y”) Por asociatividad de + en ℝ.

=(x+x’, y+y’)⊕(x”y”) Por definición de ⊕.

=((x, y)⊕(x’y’))⊕(x”y”) Por definición de ⊕.

=x⊕(x’x”).

ii) Existencia de elemento neutro. Queremos probar que existe en ℝ2 un elemento e=(e1, e2) tal que ex=x, ∀ x=(x, y) ∊ ℝ2:

ex=(e1, e2)⊕(x, y)=(e1+x, e2+y) Por definición de ⊕. Para verificar la condición exigida, entonces, debe valer que (e1+x, e2+y)=(x, y), lo que implica e1+x=x y e2+y=y. Vemos que la única manera de satisfacer la ecuación es haciendo a e1 y e2 iguales al elemento neutro respecto de la suma en el conjunto real (y por transitividad iguales entre sí), esto es e1=e2=0. Por lo tanto existe un elemento neutro respecto de ⊕ en ℝ2, y es el par (0, 0).

iii) Existencia de inverso. En este caso lo que buscamos mostrar es que, para todo elemento x en ℝ2, existe en el mismo conjunto un elemento x-1=(x-1, y-1), tal que xx-1=e. La estrategia a adoptar es básicamente la misma que en el caso anterior:

xx-1=(x, y)⊕(x-1, y-1)=(x+x-1,y+y-1)=(0, 0). Luego, vemos que x-1=-x, el inverso de x respecto de la suma en ℝ, y-1=-y, el inverso de y.

iv) Conmutatividad: Ahora queremos mostrar que, para cualquier par x, x’ ∊ ℝ2 vale que xx’=x’x. La prueba es directa, y se apoya en la conmutatividad de la suma de números reales.

xx’=(x, y)⊕(x’, y’)=(x+x’, y+y’)=(x’+x, y’+y)=(x’, y’)⊕(x, y)=x’x.

Por i), ii), iii) y iv) tenemos que {ℝ2, ⊕} es un grupo abeliano.

★ verifica las propiedades 1-4

Sean a,b ∊ ℝ y xx’ ∊ ℝ2.

1. a★(xx’)=a★((x, y)⊕(x’, y’))=a★(x+x’, y+y’)

=(× (x+x’), × (y+y’)) Por definición de ★.

=(× x+× x’, × y+× y’) Por distributividad de × en +.

=(× x, × y)⊕(× x’, × y’) Por definición de ⊕.

=a★(x, y)⊕a★(x’, y’)=(ax)⊕(ax’).

2. (a+b)★x=(a+b)★(x, y)=((a+b× x, (a+b× y) Por definición de ★.

=(× x+b × x, a × y+b × y) Por distributividad de × en +.

=(× x, × y)⊕(× x, b × y) Por definición de ⊕.

=(ax)⊕(b★x)  Por definición de ★.

3.  (× b)★x=(× b)★(x, y)=((a × b) × x, (× b× y) Por definición de ★.

=(× (× x)× (× y)) Por asociatividad de ×.

=a★(× x× y)=a★(bx).

4. 1x=1★(x, y)=(1× x, 1× y)=(x, y)=x.

Vemos con esto que {ℝ2, ⊕, ℝ, +, ×, ★} es un espacio vectorial. No es difícil darse cuenta de que las demostraciones que hicimos para los pares de números reales se extienden directamente a n-uplas de números reales. Luego, es fácil demostrar que {ℝn, ⊕, ℝ, +, ×, ★}, con n natural, es un espacio vectorial. Un caso familiar de estos espacios es el de n=3, que es el espacio real tridimensional en el que se desarrolla la mecánica newtoniana.

Hay varios otros ejemplos importantes de espacios vectoriales, que voy a comentar en las próximas entradas.

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Un pensamiento en “Álgebra lineal: Espacios vectoriales I

  1. Pingback: Álgebra lineal: Espacios vectoriales II | Reglas y Relojes

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