Álgebra lineal: Espacios vectoriales I

En la entrada anterior comenté que un espacio vectorial es una estructura algebraica, y dediqué la entrada a explicar muy someramente qué cosa es una estructura algebraica. El objetivo en esta entrada es definir qué tipo de estructura es un espacio vectorial, y explicar con un ejemplo simple cómo probar que un objeto dado tiene esta estructura o no.

Definición

En algunos textos, la definición de espacio vectorial consiste en una lista con unos 10 axiomas, en los que en ocasiones se observan abusos de notación no aclarados. A mi entender, la manera más simple de pensar un espacio vectorial es como un par de estructuras vinculadas por una operación binaria (no es que esté diciendo nada nuevo, claro). Voy a ser un poco más preciso: Supongamos que tenemos un grupo abeliano {V, ⊕} (cuyos elementos denominamos vectores), un cuerpo {K, +, ×} (cuyos elementos denominamos escalares), y una ley de composición externa ★:V×K→V. Decimos que el objeto {V, ⊕, K, +, ×, ★} es un espacio vectorial si se verifican las siguientes condiciones para cualesquiera elementos en V y en K.

∀ α, β ∊ K, y ∀ u, v ∊ V:

1. α★(vw)=(αv)⊕(αw). Esto es, la operación ★ , de ahora en más producto de un vector por un escalar, se distribuye en la suma (⊕) de vectores.

2. (α+β)★v=(αv)⊕(βv). En este caso, pedimos al producto ★ que sea distributivo respecto de la suma de escalares. Un detalle que merece atención es el siguiente: A la izquierda del igual, la suma es la de escalares +, mientras que a la derecha, la suma es la de vectores ⊕. El por qué de esto está en la definición del producto entre vectores y escalares, ★:V×K→V, que da como resultado un vector, y no un escalar.

3. (α × β)★v=αβv). Esta propiedad se denomina asociatividad mixta.

4. 1★v=v. Con el símbolo 1 representamos al elemento neutro de K respecto del producto. Si K fuera el conjunto real ℝ, por ejemplo, entonces 1 representaría al número real 1, que es el elemento neutro respecto del producto, ya que todo número real x verifica 1.x=x.

“ℝ2” es un espacio vectorial

Hasta acá la definición. Veamos con un ejemplo cómo identificar si un dado objeto tiene estructura de espacio vectorial. Tomemos el conjunto ℝ, con la suma y producto ordinarios (denotados con + y × respectivamente), y el conjunto de pares ordenados de números reales ℝ2 (cuyos elementos son de la forma (a, b), con a,b ∊ ℝ), con una operación suma definida como (a, b)⊕(a’, b’)=(a+a’, b+b’). Definamos ahora el producto ★:ℝ×ℝ2→ℝ2 de pares por números reales de la siguiente manera: Si x ∊ ℝ y (a,b) ∊ ℝ2, entonces x★(a,b)=(× a× b).

¿Cómo probamos que el objeto {ℝ2, ⊕, ℝ, +, ×, ★} es un espacio vectorial? Usemos la definición. Tenemos que probar que {ℝ, +, ×} es un cuerpo, que {ℝ2, ⊕} es un grupo abeliano, y que ★ verifica las propiedades 1-4.

{ℝ, +, ×} es un cuerpo

Sabemos que la suma de números reales es asociativa, es decir que (x+y)+z=x+(y+z) ∀ x,y,z ∊ ℝ. También existe en ℝ un elemento neutro respecto de +, y es el número 0, ya que 0+x=x ∀ x ∊ ℝ. Además, sabemos que para cualquier elemento x ∊ ℝ podemos encontrar el elemento –x ∊ ℝ tal que x+(-x)=0, es decir, para todo número real podemos encontrar un inverso respecto de la suma. Por último, la suma es una operación conmutativa x+y=y+x ∀ x,y ∊ ℝ.

Por todo esto, podemos asegurar que {ℝ, +} es un grupo abeliano. Sin mucho esfuerzo, podemos ver que lo mismo pasa en el caso de {ℝ-{0}, ×}. Y dado que conocemos la propiedad distributiva de la multiplicación de números reales en la suma, vemos que {ℝ, +, ×} cumple con la definición de cuerpo.

{ℝ2, ⊕} es un grupo abeliano

i) Asociatividad: Supongamos que tenemos tres elementos cualesquiera de ℝ2, x=(x, y), x’=(x’, y’) y x”=(x”, y”). Queremos probar que x⊕(x’x”)=(xx’)⊕x”:

x⊕(x’x”)=

=(x, y)⊕((x’, y’)⊕(x”, y”))

=(x, y)⊕(x’+x”, y’+y”) Por definición de ⊕.

=(x+(x’+x”), y+(y’+y”)) Por definición de ⊕.

=((x+x’)+x”, (y+y’)+y”) Por asociatividad de + en ℝ.

=(x+x’, y+y’)⊕(x”y”) Por definición de ⊕.

=((x, y)⊕(x’y’))⊕(x”y”) Por definición de ⊕.

=x⊕(x’x”).

ii) Existencia de elemento neutro. Queremos probar que existe en ℝ2 un elemento e=(e1, e2) tal que ex=x, ∀ x=(x, y) ∊ ℝ2:

ex=(e1, e2)⊕(x, y)=(e1+x, e2+y) Por definición de ⊕. Para verificar la condición exigida, entonces, debe valer que (e1+x, e2+y)=(x, y), lo que implica e1+x=x y e2+y=y. Vemos que la única manera de satisfacer la ecuación es haciendo a e1 y e2 iguales al elemento neutro respecto de la suma en el conjunto real (y por transitividad iguales entre sí), esto es e1=e2=0. Por lo tanto existe un elemento neutro respecto de ⊕ en ℝ2, y es el par (0, 0).

iii) Existencia de inverso. En este caso lo que buscamos mostrar es que, para todo elemento x en ℝ2, existe en el mismo conjunto un elemento x-1=(x-1, y-1), tal que xx-1=e. La estrategia a adoptar es básicamente la misma que en el caso anterior:

xx-1=(x, y)⊕(x-1, y-1)=(x+x-1,y+y-1)=(0, 0). Luego, vemos que x-1=-x, el inverso de x respecto de la suma en ℝ, y-1=-y, el inverso de y.

iv) Conmutatividad: Ahora queremos mostrar que, para cualquier par x, x’ ∊ ℝ2 vale que xx’=x’x. La prueba es directa, y se apoya en la conmutatividad de la suma de números reales.

xx’=(x, y)⊕(x’, y’)=(x+x’, y+y’)=(x’+x, y’+y)=(x’, y’)⊕(x, y)=x’x.

Por i), ii), iii) y iv) tenemos que {ℝ2, ⊕} es un grupo abeliano.

★ verifica las propiedades 1-4

Sean a,b ∊ ℝ y xx’ ∊ ℝ2.

1. a★(xx’)=a★((x, y)⊕(x’, y’))=a★(x+x’, y+y’)

=(× (x+x’), × (y+y’)) Por definición de ★.

=(× x+× x’, × y+× y’) Por distributividad de × en +.

=(× x, × y)⊕(× x’, × y’) Por definición de ⊕.

=a★(x, y)⊕a★(x’, y’)=(ax)⊕(ax’).

2. (a+b)★x=(a+b)★(x, y)=((a+b× x, (a+b× y) Por definición de ★.

=(× x+b × x, a × y+b × y) Por distributividad de × en +.

=(× x, × y)⊕(× x, b × y) Por definición de ⊕.

=(ax)⊕(b★x)  Por definición de ★.

3.  (× b)★x=(× b)★(x, y)=((a × b) × x, (× b× y) Por definición de ★.

=(× (× x)× (× y)) Por asociatividad de ×.

=a★(× x× y)=a★(bx).

4. 1x=1★(x, y)=(1× x, 1× y)=(x, y)=x.

Vemos con esto que {ℝ2, ⊕, ℝ, +, ×, ★} es un espacio vectorial. No es difícil darse cuenta de que las demostraciones que hicimos para los pares de números reales se extienden directamente a n-uplas de números reales. Luego, es fácil demostrar que {ℝn, ⊕, ℝ, +, ×, ★}, con n natural, es un espacio vectorial. Un caso familiar de estos espacios es el de n=3, que es el espacio real tridimensional en el que se desarrolla la mecánica newtoniana.

Hay varios otros ejemplos importantes de espacios vectoriales, que voy a comentar en las próximas entradas.

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Álgebra lineal: ¿Qué es una estructura algebraica?

La base del álgebra lineal está en el concepto de espacio vectorial. Un espacio vectorial es una estructura algebraica. ¿Y qué es una estructura algebraica?

Podemos empezar a contestar esa pregunta hablando sobre operaciones binarias. Supongamos tenemos 3 conjuntos A, B y C. Una operación binaria es aquella que a un par de elementos formado, por ejemplo, por un elemento de A y otro B, le asigna un elemento de C. Dicho de una manera más útil, la operación binaria es una aplicación del producto cartesiano de A y B en el conjunto C. Podemos escribir esto como ⊙:A × B→C, donde ⊙ representa a la operación. Así, si a es un elemento de A, b un elemento de B, y c el elemento de C asignado al par (a,b) de A × B, tenemos ⊙(a,b)=ab=c. Esto es cosa de todos los días, aunque no parezca. Por ejemplo, la suma 1+1=2 puede escribirse como +(1,1)=2. La operación +:N × N→N es una operación binaria.

De todas las posibles operaciones binarias nos interesa un subconjunto, denominado leyes de composición. Básicamente, son aquellas operaciones binarias en las que solo intervienen dos conjuntos o uno solo. En el primer caso hablamos de una ley de composición externa, y en el segundo, de una ley de composición interna. Esta imagen de Wikipedia es bastante clara:

ley de composicion

Vemos que la operación suma, mencionado arriba, es una ley de composición interna.

Con esto, ya podemos hablar de estructuras. Una estructura algebraica es, en el caso más simple, un objeto compuesto por un conjunto (no vacío) y una ley de composición interna. En casos más complicados, podemos tener más de una ley de composición interna, o también leyes de composición externa. Veamos algunos ejemplos, que nos van a servir para definir más adelante qué es un espacio vectorial.

Monoide

La estructura más simple es un monoide. Un monoide es simplemente un par (M,⊙), donde M es un conjunto no vacío y ⊙ es una ley de composición interna en M, es decir, ⊙: M×M→M, a la que exigimos dos propiedades: Asociatividad, y existencia de elemento neutro en el conjunto. Con asociatividad, lo que queremos decir es que si a, b, y c son 3 elementos cualquiera en M, entonces (ab)⊙c=a⊙(bc). La segunda condición, implica exigir la existenca de eM, tal que para cualquier aM vale que ae=ea=a. Ejemplo de monoide es el conjunto de números naturales con la operación producto: (ℕ,×).

Grupo

Un grupo es un par (G,⊙), donde G es un conjunto no vacío y ⊙ es una ley de composición interna a la que, además de asociatividad y existencia de elemento neutro, le exigimos también, para todo elemento de G, la existencia de un inverso respecto de ⊙. Precisemos lo que queremos decir con inverso: Dado un elemento a en G, existe otro elemento a^-1, tal que aa^-1=a^-1a=e. Ejemplos de esta estructura podemos encontrar en el conjunto de los números reales junto con el producto, (ℝ,×) o el conjunto de los números enteros con la suma (ℤ,+). Si además de cumplir las condiciones mencionadas, la operación es conmutativa, esto es, ab=baa,b ∊ G, el grupo se denomina abeliano.

Cuerpo

A diferencia de los ejemplos anteriores, un cuerpo es una terna. En este caso tenemos un conjunto K, y dos leyes de composición interna, ⊕ y ⊗. Decimos que la terna (K,⊕,⊗) es un grupo si:

1.(K,⊕) es un grupo abeliano

2.(K-{0},⊗) es un grupo abeliano.

3.a⊗(b⊕c)=(a⊗b)⊕(a⊗c) ∀a, b, c ∊ K.

donde 0 denota el elemento neutro respecto de la operación ⊕ y la condición 3 es simplemente la distributividad de ⊗ respecto de ⊕.

Nuevamente tenemos un ejemplo familiar de cuerpo en el conjunto de los números reales, tomando ⊕ como la suma y ⊗ como el producto. Es decir, (ℝ,+,×) es un grupo.

Y acá lo dejo. De más está decir que esta pequeña mención a las estructuras algebraicas es apenas una mirada a la superficie del tema, que como tantos otros puede volverse tan complejo y sofisticado (e interesante) como se quiera. No obstante, alcanza para empezar a definir de forma simple y precisa lo que es un espacio vectorial, objeto de estudio del álgebra lineal.